[JSOI2016]病毒感染[dp]

题意

有 $n$ 个村庄按标号排列，每个村庄有一个死亡速度 $a_i$ 表示每天死 $a_i$ 人(除非你治好这个村庄)。

你从 1 号村庄出发，每天可以选择向相邻的村庄进发或者治愈所在的村庄。

如果在这个过程中你的左边有未治愈的村庄，同时你向左走了一步，那么你需要把这些村庄全部治愈后才能接着自由行动。

求所有村庄都被治愈时最少的死亡人数。

$n\le3000,a_i\le 10^9$

分析

如果一个村庄不及时救治，代价就是 $|返回的位置 - pos| \times a_{pos}$ 。这启发我们枚举返回的位置。
记录 $a$ 的前缀和 $s$ 定义状态 $f_i$ 表示前 $i$ 个村庄已经治愈，当前在 $i$ 的最小代价。枚举返回位置 $j$ ，容易得到:

\[f_i=\min\{f_j+[j==0](s_n-s_j)+g_{j+1,i}+[i==n](i-j-1)(s_n-s_i)\}\]

其中 $g_{j,i}$ 表示从 $j$ 走到 $i$ ，然后走回 $j$ 的最小代价。
枚举 $j$ 是否在返回前治愈可以得到：

\[g_{j,i}=g_{j+1,i}+\min\begin{cases}3a_j(i-j)+(s_n-s_j)+2(s_n-s_i)\\2(s_n-s_j)+(s_n-s_i)\end{cases}\]

其中 $g_{i,i}=(s_n-s_i)$ 。
这保证了在转移 $f$ 时，第一个走到的位置时返回后治愈的，如果不是，可以转化为此问题。
时间复杂度 $O(n^2)$

代码

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