算法笔记_面试题_15.回溯算法模板及示例
目录
0. 回溯算法模板
leecode上的相关题目:
1. 组合相关
1.1 组合-77题
1.2 电话号码的字母组合-17题
1.3 组合总和-39题
2. 分割相关
2.1 分割回文串-131题
2.2 复原 IP 地址-93题
3. 子集相关
3.1 不含重复整数的集合的子集(78. 子集)
3.2 含重复整数的数组的子集 (90. 子集 II)
3.3 找出所有子集的异或总和再求和
3.4 统计按位或能得到最大值的子集数目
0. 回溯算法模板
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}适用范围:
- 几乎所有的搜索问题
根据具体题目可能需要改动的地方:
- 什么时候输出
- 哪些情况需要跳过
leecode上的相关题目:
1. 组合相关
1.1 组合-77题
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
示例 1：
输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
示例 2：
输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
代码:
class Solution {
public:vector<vector<int>> result; //可以定义成成员变量,使函数简洁vector<vector<int>> combine(int n, int k) {int startIndex = 1;vector<int> path;backTracking(n, k, path, startIndex);return result;}void backTracking (int n, int k, vector<int> path, int startIndex) {if (k == path.size()) { //终止条件:当子集数量到达k个时,就可以收集起来,然后返回了.result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n; ++i) { // 为什么用for: 如当选择1时,剩余的[2,3,4], 要依次选择一遍.path.push_back(i); // 为什么是i = startIndex: 如选择2时, 剩余[3,4], 要从3的index开始.这样也避免了重复选择backTracking(n, k, path, i+1); //问题规模缩小一位,path.pop_back(); //回溯:是为了给其他数字机会, 像出栈一样}}
};优化: i <= n-(k-path.size())+1
class Solution {
public:vector<vector<int>> result; //可以定义成成员变量,使函数简洁vector<vector<int>> combine(int n, int k) {int startIndex = 1;vector<int> path;backTracking(n, k, path, startIndex);return result;}void backTracking (int n, int k, vector<int> current, int startIndex) {if (k == path.size()) { //终止条件:当子集数量到达k个时,就可以收集起来,然后返回了.result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n-(k-path.size())+1; ++i) { // 为什么用for: 如当选择1时,剩余的[2,3,4], 要依次选择一遍.path.push_back(i); // 为什么是i = startIndex: 如选择2时, 剩余[3,4], 要从3的index开始.这样也避免了重复选择backTracking(n, k, path, i+1); //问题规模缩小一位,path.pop_back(); //回溯:是为了给其他数字机会, 像出栈一样}}
};1.2 电话号码的字母组合-17题
给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 任意顺序 返回。
给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。
示例 1：
输入：digits = "23"
输出：["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]
示例 2：
输入：digits = ""
输出：[]
代码及解读:
区别于77题在于, 这里深度遍历的对象虽然仍然是字符的长度,但宽度遍历的对象则是每个数字对应的字符(如2对应的"abc")
class Solution {
public:vector<string> res;string path;//疑问:定义成 unordered_map<int, string> 取值使用 phoneMap.at(digits[pos])不通过??? whyunordered_map<char, string> phoneMap = { {'2', "abc"},{'3', "def"},{'4', "ghi"},{'5', "jkl"},{'6', "mno"},{'7', "pqrs"},{'8', "tuv"},{'9', "wxyz"}};vector<string> letterCombinations(string digits) {backTracking(digits, 0);return res;}void backTracking(const string & digits, int pos) {if(pos == digits.length()) {res.push_back(path);return;}string str = phoneMap.at(digits[pos]); //注意:这里取map中对应的值for (int i = 0; i < str.length(); ++i) {//注意:这里遍历的宽度是每个数字对应的字符数量,如"pqrs"是4path.push_back(str[i]);backTracking(digits, pos+1); //常规操作: 这里遍历的深度是digits的长度,如[2,3,4],深度是3,对应pos+1path.pop_back();}}
};1.3 组合总和-39题
给定一个无重复元素的正整数数组 candidates 和一个正整数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为目标数 target 的唯一组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。如果至少一个所选数字数量不同，则两种组合是唯一的。
对于给定的输入，保证和为 target 的唯一组合数少于 150 个。
示例 1：
输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出: [[7],[2,2,3]]
示例 2：
输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]
代码:
区别与77题, 可以重复选择元素(意味着树的层数没有限制), 所以递归时, 在for循环中, 传入当前index即可,使用for循环自然地遍历到下一个节点.
图示如下:
class Solution {
public:vector<vector<int>> res;vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {vector<int> path;backTracking(candidates, target, path, 0);return res;}void backTracking(vector<int>& candidates, int target, vector<int> path, int pos) {if (target == 0) {res.push_back(path);return;}if(target < 0 || pos == candidates.size()) { //注意:这里的返回条件勿少! //无pos==..也可测试通过, 有第二个条件有所过滤,加速了些return;}for (int i = pos; i < candidates.size(); i++) {path.push_back(candidates[i]);backTracking(candidates, target-candidates[i], path, i); //注意:这里递归可选择重复元素,所以传入的是i.path.pop_back();}}
};优化:
若当前的和已经大于target时,那么对于排序的数组,选择后面的值加入,肯定更加大于target,所以,可以使用先排序candidates,然后剪枝的方法进行优化.
class Solution {
public:vector<vector<int>> res;vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {vector<int> path;sort(candidates.begin(), candidates.end()); //优化:先从小到大排序backTracking(candidates, target, path, 0);return res;}void backTracking(vector<int>& candidates, int target, vector<int> path, int pos) {if (target == 0) {res.push_back(path);return;}if(target < 0 || pos == candidates.size()) {return;}for (int i = pos; i < candidates.size(); i++) {if (target-candidates[i] < 0) { //选择当前值加入都大于目标值,对于排序候选数组,则后面的值就不用加入了.return; //这里等价于break}path.push_back(candidates[i]);backTracking(candidates, target-candidates[i], path, i);path.pop_back();}}
};2. 分割相关
2.1 分割回文串-131题
给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是 回文串 。返回 s 所有可能的分割方案。
回文串 是正着读和反着读都一样的字符串。
示例 1：
输入：s = "aab"
输出：[["a","a","b"],["aa","b"]]
示例 2：
输入：s = "a"
输出：[["a"]]
代码:
class Solution {
public:vector<vector<string>> res;vector<vector<string>> partition(string s) {vector<string> path;backTracking(s, path, 0);return res;}void backTracking(const string &s, vector<string> path, int pos) {if (pos == s.length()) {res.push_back(path);return;}for(int i = pos; i < s.length(); ++i) {string currentStr = s.substr(pos, i-pos+1); //注意:[pos, i]之间就是分割的子串if(!isPalindrome(currentStr)) { //注意: 不是回文子串,直接跳出该子树continue; //注意:这里不是return或者break(break此处等价于return, 跳过了后面所有分支,此处是不合理的), 因为对于aba, ab不是回文,continue过滤掉本分支中其他分割即可,但是下一个分支中aba是回文}path.push_back(currentStr);backTracking(s, path, i+1);path.pop_back();}}bool isPalindrome (const string &s) {if (s.empty()) return false;int start = 0;int end = s.length()-1;for (int i = start, j = end; i < j; ++i, --j) {if (s[start] != s[end])return false;}return true;}
};图示:
2.2 复原 IP 地址-93题
给定一个只包含数字的字符串，用以表示一个 IP 地址，返回所有可能从 s 获得的 有效 IP 地址 。你可以按任何顺序返回答案。
有效 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 '.' 分隔。
例如："0.1.2.201" 和 "192.168.1.1" 是 有效 IP 地址，但是 "0.011.255.245"、"192.168.1.312" 和 "192.168@1.1" 是 无效 IP 地址。
示例 1：
输入：s = "25525511135"
输出：["255.255.11.135","255.255.111.35"]
示例 2：
输入：s = "0000"
输出：["0.0.0.0"]
代码及解读:
本题于上题分割回文串很类似, 都属于分割问题, 区别于上题的点在于分割的字符串的有效性的判断,以及分割段数是有限制的(只有4段, 意味着深度遍历只需要4层). 其他的还是上述模板.
class Solution {
public:vector<string> res;vector<string> path;vector<string> restoreIpAddresses(string s) {int segNum = 0;backTracking(s, 0, 0);return res;}void backTracking(string s, int pos, int segNum) {if (pos == s.length() && segNum == 4) { //注意: 返回条件, 多了一个segment numuberres.push_back(vector2string(path));return;}for(int i = pos; i < s.length(); ++i) {if(segNum == 4) { //加速措施: 只深度遍历4层即可 //该if不加也能得到正确结果string seg4 = s.substr(pos,s.length()-pos); //注意: 到第4段时,直接取剩下所有的数字,看是否满足有效性if (!isValid(seg4)) {return;}}else{string seg = s.substr(pos, i-pos+1);if (!isValid(seg)) {return; //注意:这里不是contiue, 即该分支无效,在后面再加一位数字更加无效,所有,跳过后面所有的分支, 如 2561111, 256无效, 其后面的分支, 如2561更加无效.}path.push_back(seg);backTracking(s, i+1, segNum+1);path.pop_back();}}}bool isValid(const string &s) {if (s.empty())return false;int num = atoi(s.c_str()); //这里默认为输入的字符串是可以被分割成有效的ip的,不含@这样的特殊字符if (s[0] == '0') { //注意:分两种情况: 第一位是0还是非0if(s.size() == 1)return true;else return false;}else{if( num >=0 && num <=255) {return true;}elsereturn false;}}// 拼出一个正确的(含.的)ip出来string vector2string(vector<string> path) {if (path.size() == 0) return string("");string ipStr("");for (int i = 0; i < path.size(); ++i) {ipStr += path[i];if (i < path.size()-1) {ipStr += ".";}}return ipStr;}
};其他解法: 参考「代码随想录」带你学透回溯算法！93. 复原 IP 地址
3. 子集相关
3.1 不含重复整数的集合的子集(78. 子集)
给定一个含不同整数的集合，返回其所有的子集。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
示例 2：
输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]代码及解读
class Solution {
public:// 面试点: 中等题, 看候选人是否会使用递归解决问题// 知识点关键词: 深度优先遍历, 回溯vector<vector<int>> subsets(vector<int> &nums) {vector<vector<int>> results;vector<int> curNums;sort(nums.begin(), nums.end()); //注意: 也可以不sortsubSetsCore(results, nums, curNums, 0);return results;}void subSetsCore(vector<vector<int>> & results, const vector<int> &nums, //注意results和curNums是引用传递vector<int> &curNums, int pos) {results.push_back(curNums); //注意:这里空的也算子集的一部分for (int i=pos; i<nums.size(); ++i) { //特别注意: 搜索开始的位置 i=poscurNums.push_back(nums[i]); // => 相当于放入[1,]subSetsCore(results, nums, curNums, i+1); //注意 i+1 // => 相当于放入[1,2],[1,3]curNums.pop_back(); // => 回溯,从树根向上遍历删除}}
};本题还有一种方法：对于nums中的每一位，都有两种可能，选择 或者 不选择。所以就采用二进制的方法。设 总共有 n 个数字，则 总共就有 2^n 种可能（1 << n）。对于每一种可能i, 其二进制对应的位置为1时，我们认为当前要选择，否则认为当前不选择。因此代码如下。特别注意这里的判断条件 和 运算符优先级：if ( (i & (1 << j)) != 0 ) 。
class Solution {
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int> &nums) {vector<vector<int>> results;int n = nums.size();if (n == 0) { // 可能省略return results;}for (int i = 0; i < (1 << n); i++) { // 总共有 2^n种可能（n个数， 每个数有两种可能，选择or不选择）//注意是 1<<nvector<int> result;for (int j = 0; j < n; j++) {if ( (i & (1 << j)) != 0) { //依次遍历nums中的3个数, 选择 i 中 二进制中为1的位数，对应的数字，比如 i=0(001) 选择 nums[0]; i=3(011), 选择 nums[0] 和nums[1] //注意 运算符优先级 不等于!= 要优先与 按位与&，要加括号！result.push_back(nums[j]);}}results.push_back(result);}return results; }
};3.2 含重复整数的数组的子集 (90. 子集 II)
和上面的代码基本一致, 只需要添加一句代码: 在判断重复添加到数组时跳过即可.
描述: 给定一个可能具有重复数字的列表，返回其所有可能的子集。
示例 1：
输入：nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]
示例 2：
输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]代码及解读
代码
注意重复数字的过滤条件：if ( i != pos && nums[i] == nums[i-1] ) ，不要写错了。当前循环索引不是第一个，且当前数字等于前一个时，就跳过。
class Solution {
public:// 面试点: 中等题, 看候选人是否会使用递归解决问题// 知识点关键词: 深度优先遍历, 回溯vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int> &nums) {vector<vector<int>> results;vector<int> curNums;sort(nums.begin(), nums.end()); //注意: 这里需要sortsubsetsWithDupCore(results, nums, curNums, 0);return results;}void subsetsWithDupCore(vector<vector<int>> & results, const vector<int> &nums, //注意results和curNums是引用传递vector<int> &curNums, int pos) {results.push_back(curNums); //注意:这里空的也算子集的一部分for (int i=pos; i<nums.size(); ++i) { //特别注意: 搜索开始的位置 i=posif (i!=pos && nums[i]==nums[i-1]) { //特殊处理部分: 跳过重复的数字,不添加到候选子集中continue;}curNums.push_back(nums[i]); // => 相当于放入[1,]subsetsWithDupCore(results, nums, curNums, i+1); //注意 i+1 // => 相当于放入[1,2],[1,3]curNums.pop_back(); // => 回溯,从树根向上遍历删除}}
};3.3 找出所有子集的异或总和再求和
描述:
一个数组的 异或总和 定义为数组中所有元素按位 XOR 的结果；如果数组为 空 ，则异或总和为 0 。
例如，数组 [2,5,6] 的 异或总和 为 2 XOR 5 XOR 6 = 1 。
给你一个数组 nums ，请你求出 nums 中每个 子集 的 异或总和 ，计算并返回这些值相加之 和 。
注意：在本题中，元素 相同 的不同子集应 多次 计数。
数组 a 是数组 b 的一个 子集 的前提条件是：从 b 删除几个（也可能不删除）元素能够得到 a 。
示例 1：
输入：nums = [1,3]
输出：6
解释：[1,3] 共有 4 个子集：
- 空子集的异或总和是 0 。
- [1] 的异或总和为 1 。
- [3] 的异或总和为 3 。
- [1,3] 的异或总和为 1 XOR 3 = 2 。
0 + 1 + 3 + 2 = 6
示例 2：
输入：nums = [5,1,6]
输出：28
解释：[5,1,6] 共有 8 个子集：
- 空子集的异或总和是 0 。
- [5] 的异或总和为 5 。
- [1] 的异或总和为 1 。
- [6] 的异或总和为 6 。
- [5,1] 的异或总和为 5 XOR 1 = 4 。
- [5,6] 的异或总和为 5 XOR 6 = 3 。
- [1,6] 的异或总和为 1 XOR 6 = 7 。
- [5,1,6] 的异或总和为 5 XOR 1 XOR 6 = 2 。
0 + 5 + 1 + 6 + 4 + 3 + 7 + 2 = 28
代码及解读:
参考：力扣
class Solution {
public:int subsetXORSum(vector<int>& nums) { // 比如 nums=[5,1,3]int result = 0;// 方式1: ok// for (int i=0; i<nums.size(); ++i) { //注意: for循环在递归外,首先加入第1位元素是:[5,...] [1,...] [3,...]// subsetXORSumCore(result, nums, nums[i], i+1); //注意: 这里第3个参数, 第4个参数,从第2位(i+1)开始// }// 方式2: oksubsetXORSumCore(result, nums, 0, 0);return result;}//pos表示当前要取的nums中的元素的索引void subsetXORSumCore(int &result, const vector<int> &nums, int curResult, int pos) { if (pos==nums.size()) { //做处理,输出result += curResult;}else {subsetXORSumCore(result, nums, curResult^nums[pos], pos+1); //添加一个元素, 比如 [5,1,3]进行异或subsetXORSumCore(result, nums, curResult, pos+1); //略过一个元素, 这里 [5,1]进行异或}}
};图示:
3.4 统计按位或能得到最大值的子集数目
给你一个整数数组 nums ，请你找出 nums 子集 按位或 可能得到的 最大值 ，并返回按位或能得到最大值的 不同非空子集的数目 。
如果数组 a 可以由数组 b 删除一些元素（或不删除）得到，则认为数组 a 是数组 b 的一个 子集 。如果选中的元素下标位置不一样，则认为两个子集 不同 。
对数组 a 执行 按位或 ，结果等于 a[0] OR a[1] OR ... OR a[a.length - 1]（下标从 0 开始）。
示例 1：
输入：nums = [3,1]
输出：2
解释：子集按位或能得到的最大值是 3 。有 2 个子集按位或可以得到 3 ：
- [3]
- [3,1]
示例 2：
输入：nums = [2,2,2]
输出：7
解释：[2,2,2] 的所有非空子集的按位或都可以得到 2 。总共有 23 - 1 = 7 个子集。
示例 3：
输入：nums = [3,2,1,5]
输出：6
解释：子集按位或可能的最大值是 7 。有 6 个子集按位或可以得到 7 ：
- [3,5]
- [3,1,5]
- [3,2,5]
- [3,2,1,5]
- [2,5]
- [2,1,5]
代码及解读:
class Solution {
public:int count;int max;int countMaxOrSubsets(vector<int>& nums) {count = 0;max = 0;for (int i = 0; i<nums.size(); ++i) {max |= nums[i]; //注意1:一个数组子集中按位或的最大值,等于所有元素的按位或的结果!}int curResult = 0;countMaxOrSubsetsCore(nums, curResult, 0, false); //注意4: 默认chosed状态return count;}void countMaxOrSubsetsCore(const vector<int>& nums, int curResult,int pos, bool chosed) {if (curResult == max && chosed) { // 注意2: 统计条件:因为当前轮未选中当前元素的状态,等于上一次选中上一个元素的状态,++count; // 所以只统计选中状态时的子集是否满足条件!}if (pos == nums.size()) { //注意3: 返回条件!return;}countMaxOrSubsetsCore(nums, curResult | nums[pos], pos + 1, true); //选中状态才进行按位或countMaxOrSubsetsCore(nums, curResult, pos + 1, false);}
};图示:
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