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如果对回溯法理论还不清楚的同学，可以先看这个视频：

第51题. N皇后

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例: 输入: 4
输出: [
[".Q..",  // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],

["..Q.",  // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

提示：
皇后，是国际象棋中的棋子，意味着国王的妻子。皇后只做一件事，那就是“吃子”。当她遇见可以吃的棋子时，就迅速冲上去吃掉棋子。当然，她横、竖、斜都可走一到七步，可进可退。(引用自 百度百科 - 皇后 )

思路

都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二位矩阵还会有点不知所措。

首先来看一下皇后们的约束条件：

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。

下面我用一个3 * 3 的棋牌，将搜索过程抽象为一颗树，如图：

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这颗树的高度，矩阵的宽就是树型结构中每一个节点的宽度。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这颗树，「只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了」。

回溯三部曲

按照我总结的如下回溯模板，我们来依次分析：

void backtracking(参数) {    if (终止条件) {        存放结果;        return;    }    for (选择：本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {        处理节点;        backtracking(路径，选择列表); // 递归        回溯，撤销处理结果    }}

• 递归函数参数

我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。

参数n是棋牌的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。

代码如下：

vector> result;void backtracking(int n, int row, vector& chessboard) {

• 递归终止条件

在如下树形结构中：

可以看出，当递归到棋盘最底层(也就是叶子节点)的时候，就可以收集结果并返回了。

代码如下：

if (row == n) {    result.push_back(chessboard);    return;}

• 单层搜索的逻辑

递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。

每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

代码如下：

for (int col = 0; col     if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放        chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后        backtracking(n, row + 1, chessboard);        chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后    }}

• 验证棋牌是否合法

按照如下标准去重：

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线 (45度和135度角)

代码如下：

bool isValid(int row, int col, vector& chessboard, int n) {    int count = 0;    // 检查列for (int i = 0; i         if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;        }    }    // 检查 45度角是否有皇后for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;        }    }    // 检查 135度角是否有皇后for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j         if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;        }    }return true;}

在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？

因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环(也就是同一行)里的一个元素，所以不用去重了。

那么按照这个模板不难写出如下代码：

C++代码

class Solution {private:vector> result;// n 为输入的棋盘大小// row 是当前递归到棋牌的第几行了void backtracking(int n, int row, vector& chessboard) {if (row == n) {        result.push_back(chessboard);return;    }for (int col = 0; col         if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放            chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后            backtracking(n, row + 1, chessboard);            chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后        }    }}bool isValid(int row, int col, vector& chessboard, int n) {    int count = 0;    // 检查列for (int i = 0; i         if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;        }    }    // 检查 45度角是否有皇后for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;        }    }    // 检查 135度角是否有皇后for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j         if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;        }    }return true;}public:    vector> solveNQueens(int n) {        result.clear();        std::vector<:string> chessboard(n, std::string(n, '.'));        backtracking(n, 0, chessboard);return result;    }};

可以看出，除了验证棋盘合法性的代码，省下来部分就是按照回溯法模板来的。

总结

本题是我们解决棋盘问题的第一道题目。

如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。

「这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了」。

大家可以在仔细体会体会！

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