BZOJ3157/BZOJ3516 国王奇遇记（矩阵快速幂/数学）

　　由二项式定理，(m+1)^k=ΣC(k,i)*mⁱ。由此可以构造矩阵转移，将mⁱ*i^k全部塞进去即可，系数即为组合数*m。复杂度O(m³logn)，因为大常数喜闻乐见的T掉了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{int x=0,f=1;char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();return x*f;
}
#define N 202
#define P 1000000007
int n,m,C[N][N];
struct matrix
{int n,a[N][N];matrix operator *(const matrix&b) const{matrix c;c.n=n;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for (register int i=0;i<n;i++)for (register int j=0;j<N;j++)for (register int k=0;k<N;k++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1ll*a[i][k]*b.a[k][j]%P)%P;return c;}
}f,a;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("bzoj3157.in","r",stdin);freopen("bzoj3157.out","w",stdout);const char LL[]="%I64d\n";
#elseconst char LL[]="%lld\n";
#endifn=read()+1,m=read();C[0][0]=1;for (int i=1;i<=m;i++){C[i][0]=C[i][i]=1;for (int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;}a.n=m+2;for (int i=0;i<=m;i++)for (int j=0;j<=i;j++)a.a[j][i]=1ll*m*C[i][j]%P;a.a[m][m+1]=a.a[m+1][m+1]=1;f.n=1;f.a[0][0]=1;for (;n;n>>=1,a=a*a) if (n&1) f=f*a;cout<<f.a[0][m+1];return 0;
}

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　　考虑更神的完全想不到的推导：（直接搬了）

就可以做到O(m²)了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{int x=0,f=1;char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();return x*f;
}
#define N 2010
#define P 1000000007
int n,m,C[N][N],f[N];
int ksm(int a,int k)
{if (k==0) return 1;int tmp=ksm(a,k>>1);if (k&1) return 1ll*tmp*tmp%P*a%P;else return 1ll*tmp*tmp%P;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("bzoj3157.in","r",stdin);freopen("bzoj3157.out","w",stdout);const char LL[]="%I64d\n";
#elseconst char LL[]="%lld\n";
#endifn=read(),m=read();C[0][0]=1;for (int i=1;i<=m;i++){C[i][0]=C[i][i]=1;for (int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;}if (m==1) {cout<<(1ll*n*(n+1)>>1)%P;return 0;}f[0]=1ll*m*(ksm(m,n)-1)%P*ksm(m-1,P-2)%P;for (int i=1;i<=m;i++){f[i]=1ll*ksm(n,i)*ksm(m,n+1)%P;for (int j=0;j<i;j++)if (i-j&1) f[i]=(f[i]-1ll*C[i][j]*f[j]%P+P)%P;else f[i]=(f[i]+1ll*C[i][j]*f[j]%P)%P;f[i]=1ll*f[i]*ksm(m-1,P-2)%P;}cout<<f[m];return 0;
}

　　甚至可以做到O(m)。不觉得能看懂了。

转载于:https://www.cnblogs.com/Gloid/p/9668438.html

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