GPS从入门到放弃（八） --- GPS卫星速度解算

GPS从入门到放弃（八） — GPS卫星速度解算

在阅读这一篇强烈建议先阅读GPS卫星位置解算。

为了计算卫星速度，需要对卫星的位置求导。

计算各参变量对时间的导数如下：
M˙k=n\dot{M}_k = nM˙k=n
E˙k=M˙k1−ecos⁡Ek\dot{E}_k = \frac{\dot{M}_k}{1-e\cos E_k}E˙k=1−ecosEkM˙k
ν˙k=1−e2E˙k1−ecos⁡Ek\dot{\nu}_k = \frac{\sqrt{1-e^2}\dot{E}_k}{1-e\cos E_k}ν˙k=1−ecosEk1−e2E˙k
Φ˙k=ν˙k\dot{\Phi}_k = \dot{\nu}_kΦ˙k=ν˙k
δu˙k=2Φ˙k(Cuscos⁡2Φk−Cucsin⁡2Φk)\delta\dot{u}_k = 2\dot{\Phi}_k(C_{us}\cos2\Phi_k - C_{uc}\sin2\Phi_k)δu˙k=2Φ˙k(Cuscos2Φk−Cucsin2Φk)
δr˙k=2Φ˙k(Crscos⁡2Φk−Crcsin⁡2Φk)\delta\dot{r}_k = 2\dot{\Phi}_k(C_{rs}\cos2\Phi_k - C_{rc}\sin2\Phi_k)δr˙k=2Φ˙k(Crscos2Φk−Crcsin2Φk)
δi˙k=2Φ˙k(Ciscos⁡2Φk−Cicsin⁡2Φk)\delta\dot{i}_k = 2\dot{\Phi}_k(C_{is}\cos2\Phi_k - C_{ic}\sin2\Phi_k)δi˙k=2Φ˙k(Ciscos2Φk−Cicsin2Φk)
Ω˙k=Ω˙−Ω˙e\dot{\Omega}_k = \dot{\Omega} - \dot{\Omega}_eΩ˙k=Ω˙−Ω˙e
i˙k=i˙+δi˙k\dot{i}_k = \dot{i} + \delta\dot{i}_ki˙k=i˙+δi˙k
r˙k=AeE˙ksin⁡Ek+δr˙k\dot{r}_k = Ae\dot{E}_k\sin E_k + \delta\dot{r}_kr˙k=AeE˙ksinEk+δr˙k
u˙k=Φ˙k+δu˙k\dot{u}_k = \dot{\Phi}_k + \delta\dot{u}_ku˙k=Φ˙k+δu˙k

计算卫星在轨道平面内的速度和WGS-84坐标系中的速度如下：
x˙k′=r˙kcos⁡uk−rku˙ksin⁡uk\dot{x}'_k = \dot{r}_k\cos u_k - r_k \dot{u}_k \sin u_kx˙k′=r˙kcosuk−rku˙ksinuk
y˙k′=r˙ksin⁡uk+rku˙kcos⁡uk\dot{y}'_k = \dot{r}_k\sin u_k + r_k \dot{u}_k \cos u_ky˙k′=r˙ksinuk+rku˙kcosuk
x˙k=−ykΩ˙k−(y˙k′cos⁡ik−zki˙k)sin⁡Ωk+x˙k′cos⁡Ωk\dot{x}_k = -y_k\dot{\Omega}_k - (\dot{y}'_k\cos i_k - z_k\dot{i}_k)\sin\Omega_k + \dot{x}'_k\cos\Omega_kx˙k=−ykΩ˙k−(y˙k′cosik−zki˙k)sinΩk+x˙k′cosΩk
y˙k=xkΩ˙k+(y˙k′cos⁡ik−zki˙k)cos⁡Ωk+x˙k′sin⁡Ωk\dot{y}_k = x_k\dot{\Omega}_k + (\dot{y}'_k\cos i_k - z_k\dot{i}_k)\cos\Omega_k + \dot{x}'_k\sin\Omega_ky˙k=xkΩ˙k+(y˙k′cosik−zki˙k)cosΩk+x˙k′sinΩk
z˙k=y˙k′sin⁡ik+yk′i˙kcos⁡ik\dot{z}_k = \dot{y}'_k\sin i_k + y'_k\dot{i}_k\cos i_kz˙k=y˙k′sinik+yk′i˙kcosik

在之前的位置解算的过程中，我们已经求得了很多中间变量，利用以上公式，即可求得卫星速度。
代码如下：

M_k_Dot = n
E_k_Dot = M_k_Dot/(1-e*math.cos(E_k))
nu_k_Dot = math.sqrt(1-e**2)*E_k_Dot/(1-e*math.cos(E_k))
Phi_k_Dot = nu_k_Dot
delta_u_k_Dot = 2*Phi_k_Dot*(Cus*math.cos(2*Phi_k) - Cuc*math.sin(2*Phi_k))
delta_r_k_Dot = 2*Phi_k_Dot*(Crs*math.cos(2*Phi_k) - Crc*math.sin(2*Phi_k))
delta_i_k_Dot = 2*Phi_k_Dot*(Cis*math.cos(2*Phi_k) - Cic*math.sin(2*Phi_k))
Omega_k_Dot = Omega_Dot - Omega_e_Dot
i_k_Dot = i_Dot + delta_i_k_Dot
r_k_Dot = A*e*E_k_Dot*math.sin(E_k) + delta_r_k_Dot
u_k_Dot = Phi_k_Dot + delta_u_k_Dotx_p_k_Dot = r_k_Dot*math.cos(u_k) - r_k*u_k_Dot*math.sin(u_k)
y_p_k_Dot = r_k_Dot*math.sin(u_k) + r_k*u_k_Dot*math.cos(u_k)x_k_Dot = -y_k*Omega_k_Dot - (y_p_k_Dot*math.cos(i_k) - z_k*i_k_Dot)*math.sin(Omega_k) + x_p_k_Dot*math.cos(Omega_k)
y_k_Dot = x_k*Omega_k_Dot + (y_p_k_Dot*math.cos(i_k) - z_k*i_k_Dot)*math.cos(Omega_k) + x_p_k_Dot*math.sin(Omega_k)
z_k_Dot = y_p_k_Dot*math.sin(i_k) + y_p_k*i_k_Dot*math.cos(i_k)print("x_k_Dot={}".format(x_k_Dot))
print("y_k_Dot={}".format(y_k_Dot))
print("z_k_Dot={}".format(z_k_Dot))

用GPS卫星位置解算中的数据进行解算，可以得到卫星在WGS-84坐标系中的速度为：
[x˙ky˙kz˙k]=[1088.40932985282189.0005213284817−1527.1796186285617](米/秒)\left[ \begin{array}{r} \dot{x}_k \\ \dot{y}_k \\ \dot{z}_k \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1088.4093298528 \\ 2189.0005213284817 \\ -1527.1796186285617 \end{array} \right](米/秒) ⎣⎡x˙ky˙kz˙k⎦⎤=⎣⎡1088.40932985282189.0005213284817−1527.1796186285617⎦⎤(米/秒)

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