GPS从入门到放弃（六） --- 开普勒轨道参数

GPS从入门到放弃（六） — 开普勒轨道参数

开普勒轨道参数是用于描述卫星轨道的，GPS卫星的无摄椭圆轨道运动就是用开普勒轨道参数来描述。参考GPS导航电文，电文中的星历和历书都是用开普勒轨道参数来描述的。

一套开普勒轨道参数包含6个参数：轨道升交点赤经、轨道倾角、近地点角距、长半径、偏心率和真近点角。

轨道升交点赤经 Ω0\Omega_0Ω0 （Longitude of Ascending Node of Orbit Plane）
轨道倾角 i0i_0i0 （Inclination Angle）
近地点角距 ω\omegaω （Argument of Perigee）
长半径 aaa （Semi-Major Axis of Orbit）
偏心率 eee （Eccentricity）
真近点角 ν\nuν （True Anomaly）

要想确定卫星的位置，首先要确定卫星运行轨道所在平面的位置。卫星轨道平面通过地心，与赤道面相交，其夹角就是轨道倾角。卫星轨道在轨道平面内，卫星沿着轨道由南向北运行时与赤道面的交点称为卫星赤道升交点，简称升交点。此升交点在赤道面内与春分点对地心的夹角即为轨道升交点赤经。有了轨道倾角和轨道升交点赤经，就可以确定卫星轨道平面相对赤道面的位置。

轨道平面确定后，需要确定轨道椭圆。近地点角距用于确定椭圆方位，它是近地点在轨道平面内与升交点相对地心的夹角，确定了轨道椭圆长轴的方向。再加上长半径和偏心率，椭圆在轨道平面内的位置就确定下来了。

最后一个参数真近点角用于确定卫星在轨道椭圆上的相对位置，它定义为卫星当前位置在轨道平面内与近地点相对地心的夹角。

于是通过这一套开普勒轨道参数，卫星相对赤道的空间位置就确定了。

对于一颗无摄状态下运行的卫星来说，这一套开普勒参数除了真近点角以外都是常数，而真近点角是时间的函数，且和时间的关系比较复杂。于是GPS卫星星历并不直接给出真近点角 ν\nuν，而是给出偏近点角 EEE（Eccentric anomaly）和平近点角 MMM（Mean Anomaly）。
其中在 ttt 时刻的平近点角 MMM 是以卫星平均角速度 nnn 运行的角距，即
M=n(t−t0)M = n(t-t_0)M=n(t−t0)
偏近点角 EEE 和平近点角 MMM 的关系由开普勒方程给出，即
M=E−esin⁡EM = E - e \sin EM=E−esinE
而偏近点角 EEE 和真近点角 ν\nuν 的关系如下：
cos⁡ν=cos⁡E−e1−ecos⁡E\cos\nu = \frac{\cos E - e}{1-e\cos E} cosν=1−ecosEcosE−e
sin⁡ν=1−e2sin⁡E1−ecos⁡E\sin\nu = \frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{1-e\cos E} sinν=1−ecosE1−e2sinE
ν=arctan⁡(1−e2sin⁡Ecos⁡E−e)\nu = \arctan\left(\frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{\cos E - e}\right) ν=arctan(cosE−e1−e2sinE)

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