GPS从入门到放弃（十二） --- 多普勒定速

GPS从入门到放弃（十二） — 多普勒定速

多普勒效应

多普勒效应在我们日常生活中有很多，比如当一辆救护车迎面驶来的时候，听到声音比原来高；而车离去的时候声音的音高比原来低。

这个效应是为纪念奥地利物理学家及数学家克里斯琴·约翰·多普勒（Christian Johann Doppler）而命名的，他于1842年首先提出了这一理论。据说是因为有一次一列火车从他身旁经过，他发现火车从远而近时汽笛声变响，音调变尖，而火车从近而远时汽笛声变弱，音调变低。他觉得很有意思，于是他就对这个现象去深入研究，从而提出了多普勒效应。

多普勒效应的主要内容为物体辐射的波长因为波源和观测者的相对运动而产生变化。在运动的波源前面，波被压缩，波长变得较短，频率变得较高（蓝移 blue shift）；在运动的波源后面时，会产生相反的效应。波长变得较长，频率变得较低（红移 red shift）；波源的速度越高，所产生的效应越大。根据波红（蓝）移的程度，可以计算出波源循着观测方向运动的速度。

卫星导航中的多普勒效应

多普勒效应不仅仅适用于声波，它也适用于所有类型的波。卫星导航中传播信息用的是无线电波，因为卫星在绕地球高速运动，所以也有多普勒效应。

我们定义多普勒频移值 fdf_dfd 为接收机接收频率与卫星信号发射频率的差值。设 v\boldsymbol{v}v 为接收机与卫星之间的相对速度矢量，e\boldsymbol{e}e 为接收机到卫星的单位观测矢量，则有
fd=v⋅eλ=vλcos⁡αf_d = \frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}}{\lambda} = \frac{v}{\lambda}\cos\alphafd=λv⋅e=λvcosα

其中 v\boldsymbol{v}v 与 e\boldsymbol{e}e 之间是矢量点积运算，λ\lambdaλ 为载波波长，v=∣v∣v = |\boldsymbol{v}|v=∣v∣，α\alphaα 为 v\boldsymbol{v}v 与 e\boldsymbol{e}e 之间的夹角。

接收机内部的锁频环可以输出观测到的多普勒频移值 fdf_dfd，利用这个值，我们就可以进行多普勒定速。

多普勒定速

在伪距与载波相位中我们介绍了伪距的计算方法，也得到了包含 (x,y,z,δt)(x,\ y,\ z,\ \delta_t)(x, y, z, δt) 四个未知数的GPS定位基本方程：
(x−xs)2+(y−ys)2+(z−zs)2+c⋅δt=ρ+c⋅δt,s−cI−cT−cϵ\sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2} + c\cdot\delta_t = \rho + c\cdot\delta_{t,s} - cI - cT -c\epsilon (x−xs)2+(y−ys)2+(z−zs)2+c⋅δt=ρ+c⋅δt,s−cI−cT−cϵ

令接收机到卫星 sss 的几何距离 rs=(x−xs)2+(y−ys)2+(z−zs)2r_s = \sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2}rs=(x−xs)2+(y−ys)2+(z−zs)2 ，将这个方程对时间求导，可得
rs˙+c⋅δt˙=ρ˙+c⋅δ˙t,s−cI˙−cT˙−nd\dot{r_s} + c\cdot\dot{\delta_t} = \dot{\rho} + c\cdot\dot{\delta}_{t,s} - c\dot{I} - c\dot{T} -n_d rs˙+c⋅δt˙=ρ˙+c⋅δ˙t,s−cI˙−cT˙−nd

这个方程中的 III 和 TTT 分别是大气电离层导致的延时和大气对流层导致的延时，这些延时在短时间内可以认为没有变化，即 I˙=0\dot{I} = 0I˙=0, T˙=0\dot{T} = 0T˙=0。δt˙\dot{\delta_t}δt˙ 和 δt,s˙\dot{\delta_{t,s}}δt,s˙ 分别为接收机和卫星 sss 的钟漂，δt˙\dot{\delta_t}δt˙ 是我们要求的量，δt,s˙\dot{\delta_{t,s}}δt,s˙可以通过导航电文提供的校正参数计算出来。ndn_dnd 为未考虑到的误差噪声项。ρ˙\dot{\rho}ρ˙ 为伪距变化率，可由多普勒频移观测量 fdf_dfd 和载波波长 λ\lambdaλ 通过式 ρ˙=−λfd\dot{\rho} = -\lambda f_dρ˙=−λfd 来求得。

设接收机到卫星 sss 的单位观测矢量为 es=[es,x,es,y,es,z]T\boldsymbol{e}_{s}=[e_{s,x},\ e_{s,y},\ e_{s,z}]^Tes=[es,x, es,y, es,z]T, 卫星 sss 的速度为 vs=[vs,x,vs,y,vs,z]T\boldsymbol{v}_s = [v_{s,x},\ v_{s,y},\ v_{s,z}]^Tvs=[vs,x, vs,y, vs,z]T, 接收机的速度为 v=[vx,vy,vz]T\boldsymbol{v} = [v_{x},\ v_{y},\ v_{z}]^Tv=[vx, vy, vz]T, 则 rs˙=(vs−v)⋅es\dot{r_s}=(\boldsymbol{v_s}-\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{e_s}rs˙=(vs−v)⋅es。

于是上面的方程可以写为
(vs−v)⋅es+c⋅δt˙=−λfd+c⋅δ˙t,s−nd(\boldsymbol{v_s}-\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{e_s} + c\cdot\dot{\delta_t} = -\lambda f_d + c\cdot\dot{\delta}_{t,s} - n_d (vs−v)⋅es+c⋅δt˙=−λfd+c⋅δ˙t,s−nd

整理得
−es⋅v+c⋅δt˙=−λfd−vs⋅es+c⋅δ˙t,s−nd-\boldsymbol{e_s}\cdot\boldsymbol{v} + c\cdot\dot{\delta_t} = -\lambda f_d -\boldsymbol{v_s}\cdot\boldsymbol{e_s} + c\cdot\dot{\delta}_{t,s} -n_d −es⋅v+c⋅δt˙=−λfd−vs⋅es+c⋅δ˙t,s−nd

方程左边有四个未知量 vx,vy,vz,δ˙tv_{x},\ v_{y},\ v_{z},\ \dot{\delta}_tvx, vy, vz, δ˙t，而右边都是已知量。若有4个观测值，则可以得到定速方程组：

G[vxvyvzc⋅δ˙t]=b+nd\boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z\\ c\cdot\dot{\delta}_{t} \end{array} \right] = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{n}_d G⎣⎢⎢⎡vxvyvzc⋅δ˙t⎦⎥⎥⎤=b+nd

其中 G\boldsymbol{G}G为几何矩阵，与定位方程（参考定位方程解算）中的几何矩阵完全相同，b\boldsymbol{b}b 为多普勒残差，ndn_dnd 为未考虑到的误差噪声项
G=[−e11−e21−e31−e41]\boldsymbol{G} = \left[ \begin{array}{cc} -\boldsymbol{e}_{1} & 1\\ -\boldsymbol{e}_{2} & 1\\ -\boldsymbol{e}_{3} & 1\\ -\boldsymbol{e}_{4} & 1 \end{array} \right] G=⎣⎢⎢⎡−e1−e2−e3−e41111⎦⎥⎥⎤

b=[−λfd,1−v1⋅e1+c⋅δ˙t,1−λfd,2−v2⋅e2+c⋅δ˙t,2−λfd,3−v3⋅e3+c⋅δ˙t,3−λfd,4−v4⋅e4+c⋅δ˙t,4]\boldsymbol{b} = \left[ \begin{array}{c} -\lambda f_{d,1}-\boldsymbol{v_1}\cdot\boldsymbol{e_1}+c\cdot\dot{\delta}_{t,1} \\ -\lambda f_{d,2}-\boldsymbol{v_2}\cdot\boldsymbol{e_2}+c\cdot\dot{\delta}_{t,2} \\ -\lambda f_{d,3}-\boldsymbol{v_3}\cdot\boldsymbol{e_3}+c\cdot\dot{\delta}_{t,3} \\ -\lambda f_{d,4}-\boldsymbol{v_4}\cdot\boldsymbol{e_4}+c\cdot\dot{\delta}_{t,4} \end{array} \right] b=⎣⎢⎢⎡−λfd,1−v1⋅e1+c⋅δ˙t,1−λfd,2−v2⋅e2+c⋅δ˙t,2−λfd,3−v3⋅e3+c⋅δ˙t,3−λfd,4−v4⋅e4+c⋅δ˙t,4⎦⎥⎥⎤

nd=[nd,1nd,2nd,3nd,4]\boldsymbol{n}_d = \left[ \begin{array}{c} n_{d,1} \\ n_{d,2} \\ n_{d,3} \\ n_{d,4} \end{array} \right] nd=⎣⎢⎢⎡nd,1nd,2nd,3nd,4⎦⎥⎥⎤

此定速方程组可以用最小二乘法来求解。解出结果即为接收机的速度和钟漂。