闪电连接算法之Python实现

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简介
原理
Python实现

简介

LAPO，即闪电连接优化(Lightning Attachment Procedure Optimization)，听名字就知道是受到了闪电的刺激，而获得灵感的一种算法。

为了走进LAPO的内心，于是上网搜了一下闪电的图片

呃不好意思，是下面这个

发现闪电连接无非是分岔而已，而且这个岔如果非常厚实，那么会继续分叉，否则就会迅速消失。

接下来可以思考，这个岔何以非常强壮？那肯定是这个位置比较适合分岔，在对的地方分岔了，闪电就会继续分岔，否则就面临着消失。

至此，闪电过程被抽象为分支的出现和消失。

原理

初始化

xi=rand⁡(xL,xR)x^i = \operatorname{rand}(x_L, x_R) xi=rand(xL,xR)

xL,xRx_L, x_RxL,xR表示随机数的生成范围。

根据目标函数，可以得到xix^ixi的适应度

fi=f(xi)f^i = f(x^i)fi=f(xi)

下一跳

对于第iii个闪电点，周围有很多个可以分岔的位置，其第jjj个位置记作xjix^i_jxji，计算所有可能位置的平均值，及其适应度

计算所有点的平均值，及其平均值的适应度

xˉi=1N∑jNxji,fˉi=f(xˉi)\bar x^i=\frac{1}{N}\sum_j^Nx_j^i, \bar f^i=f(\bar x^i) xˉi=N1j∑Nxji,fˉi=f(xˉi)

如果fjif^i_jfji优于fˉi\bar f^ifˉi，则闪电向这边移动，否则闪电向另一侧移动

xi∗={xji+(xˉi+xji⋅rand⁡)⋅rand⁡fji<fˉixji−(xˉi+xji⋅rand⁡)⋅rand⁡fji⩾fˉix^{i*}=\left\{\begin{aligned} x^i_j+(\bar x^i + x^i_j\cdot\operatorname{rand})\cdot\operatorname{rand}\quad f^i_j<\bar f^i\\ x^i_j-(\bar x^i + x^i_j\cdot\operatorname{rand})\cdot\operatorname{rand}\quad f^i_j\geqslant\bar f^i\\ \end{aligned}\right. xi∗={xji+(xˉi+xji⋅rand)⋅randfji<fˉixji−(xˉi+xji⋅rand)⋅randfji⩾fˉi

分支消失

如果xi∗x^{i*}xi∗的适应度比xix^{i}xi要好，那么就这个新点就保留，否则就任其消失。

地面接收

一般来说闪电肯定是要打在避雷针上的，最优解就相当于是避雷针。随着迭代的不断加深，即闪电不断第分岔，也就更加接近避雷针所在的位置。

在LAPO里，通过迭代次数来创建一个概率因子S，其表达式为

S=1−ttMexp⁡−ttMS=1-\frac{t}{t_M}\exp-\frac{t}{t_M} S=1−tMtexp−tMt

随着迭代次数增加，SSS的值不断减小，意味着分支点的抖动逐渐降低，其作用在分支上的方式如下

xi∗=xi∗+rand⁡⋅S⋅(xm−xM)x^{i*}=x^{i*}+\operatorname{rand}\cdot S\cdot(x_m-x_M) xi∗=xi∗+rand⋅S⋅(xm−xM)

其中，xmx_mxm和xMx_MxM为最优和最差情况下的位置。

Python实现

由于LAPO算法不需要保留上一代闪电点，而且闪电点之间也没有什么关联，所以实现起来比较简单。

首先实现闪电的分支迭代过程

import numpy as np
rand = np.random.rand
# x为当前迭代点；func为迭代函数；N为预选分支点数目
# S为尖端放电系数
def branch(x, func, N, S):fit = func(x)   #x的适应度# 预选点stars = [x+rand(*x.shape) for _ in range(N)]# 所有预选点的适应度starFits = [func(star) for star in stars]xBar = np.mean(stars, axis=0)fBar = np.mean(starFits)xs = []for i in range(N):sign = 1 if starFits[i] < fBar else -1xs.append(x+sign*(xBar+stars[i]*rand())*rand())# 上面已经给出了所有可能的分支xs = np.array(xs)fits = np.array([func(xi) for xi in xs])ind = np.where(fits<fit)[0]if len(ind)==0:return [x]xs,fits = xs[ind], fits[ind]# 如果没有更好的结果，就保留现有结果S = S*(xs[np.argmin(fits)] - xs[np.argmax(fits)])return [x+rand()*S for x in xs]

然后实现主函数

from itertools import chain
# nInit为初始化点个数，nDim为数据维度，nBranch为分支点个数
# nIter为迭代次数
def lapo(nInit, nDim, nBranch, nIter, func):# xs为点集xs = [rand(nDim) for _ in range(nInit)]for i in range(nIter):# 尖端放电系数S = 1 - (i/nIter)*np.exp(-i/nIter)xs = [branch(x, func, nBranch, S) for x in xs]xs = list(chain(*xs))fits = [func(x) for x in xs]msg = f"得到{len(xs)}组结果，其中最佳适应度为{np.min(fits)},"msg += "xs=" + ", ".join([f"{xi}" for xi in xs[np.argmin(fits)]])print(msg)

最后，找个函数测试一下，测试函数为

f(x⃗)=∑i=0cos⁡(ixi5)∗(i+1)f(\vec x)=\sum_{i=0}\cos(\frac{ix_i}{5})*(i+1) f(x)=i=0∑cos(5ixi)∗(i+1)

def test(xs):_sum = 0.0for i in range(len(xs)):_sum = _sum + np.cos((xs[i]*i)/5)*(i+1)return _sumif __name__ == "__main__":lapo(10, 5, 3, 20, test)

效果为

>python lapo.py
得到1093组结果，其中最佳适应度为-12.570095759883985,xs=-11.260084641709877, -13.431104443084656, -7.471806128776576, -16.196185355184905, -11.894803311699398

当然，这个程序有一个bug，当新种群中没有更优情况的时候，上一代计算结果会被保存，随着迭代次数越来越多，非常容易内存爆炸，看来是要对每一代种群进行以此筛选才行。