量子计算 21 量子算法 6 Shor Part III: QFT+PF

1 周期寻找量子态
2 QFT矩阵
3 QFT解决周期寻找问题
- 假如Q是s的整数倍
- 假如Q不是s的整数倍

上回书介绍了QFT的量子电路，这其实是之前讲的Shor算法里面的第三步，我们今天来看第二步：

第一步，把质数分解问题，转化为周期寻找问题，这一步Shor认为是显然的，当然我们不会这么认为。。。
第二步，通过量子傅里叶变换QFT，以 O ( 1 ) O(1) O(1)查询复杂度解决周期寻找问题
第三步，建立QFT的量子电路，用 n O ( 1 ) = log ⁡ n O ( 1 ) n^{O(1)}=\log n^{O(1)} nO(1)=lognO(1)个量子门
第四步，把冰箱门关上，用Continued Fraction Algorithm把QFT的输出变成质数分解的结果，然后大象就装冰箱里了

1 周期寻找量子态

第二步就是在我们已经有了QFT之后，用QFT作用之后的测量结果如何能解决周期寻找问题(Period finding QF)

已知我们的第一步在量子计算19中已经得到了周期寻找问题的相关量子态：

∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩的这些分量，本来是 ∣ 0101 … ⟩ |0101\dots\rangle ∣0101…⟩形式的二进制，不过目前转化成了整数来表达，有 q q q个qubit，整数的范围也就是 0 ∼ ( 2 q − 1 ) = ( Q − 1 ) 0\sim (2^q-1)=(Q-1) 0∼(2q−1)=(Q−1)；从向量的形式来看，其分量 ∣ r ⟩ |r\rangle ∣r⟩也就是在第 r r r个位置上为1的单位向量。

2 QFT矩阵

我们的第三步已经在量子计算20中完成，即得到了QFT的快速量子电路，现在我们进行第二步，即将QFT作用于上述量子态。

QFT其实是以下矩阵 F Q F_Q FQ:

F Q F_Q FQ是个 Q × Q Q\times Q Q×Q的矩阵， Q = 2 q Q=2^q Q=2q， q q q是量子比特的数目； w i j = e 2 π i / Q w^{ij}=e^{2\pi i/Q} wij=e2πi/Q是单位1在复数范围的Q次方根。

3 QFT解决周期寻找问题

因此第二步就是 F Q ∣ ψ ⟩ F_Q|\psi\rangle FQ∣ψ⟩，根据上述分析，对于 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩中的第 l l l个分量 ∣ r + l s ⟩ |r+ls\rangle ∣r+ls⟩， F Q ∣ r + l s ⟩ F_Q|r+ls\rangle FQ∣r+ls⟩的结果相当于取矩阵 F Q F_Q FQ的第 r + l s r+ls r+ls行，因此 F Q ∣ ψ ⟩ F_Q|\psi\rangle FQ∣ψ⟩结果为：

第一个求和，代表的是 F Q F_Q FQ的第 r + l s r+ls r+ls行共有 Q Q Q个分量；第二个求和，代表的是 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩共有 l l l个分量。

然后我们研究的问题就是，对于某个 ∣ k ⟩ |k\rangle ∣k⟩，其幅值的相干是constructive interference还是destructive interference，为此我们可以先忽略其中的global phase w r k w^{rk} wrk，因为对于特定的k是一样的，于是我们来看：

假如Q是s的整数倍

我们知道 w i j = e 2 π i / Q w^{ij}=e^{2\pi i/Q} wij=e2πi/Q

当 k s ks ks不是Q的整数倍时，随着 l l l的增长， k s l m o d Q ksl \mod Q kslmodQ会在 0 ∼ Q − 1 0\sim Q-1 0∼Q−1之间周期增长，反应到复数的单位圆上如下图，所以 L L L个这些周期复数加起来大多数就互相抵消了，所以就产生了destructive interference。

那当 k s ks ks是Q的整数倍的时候， w k s l = 1 w^{ksl}=1 wksl=1，因此这样的 ∣ k ⟩ |k\rangle ∣k⟩的幅值，在 l l l个求和之后，是发生了constructive interference的。

所以大概率上，我们观测到的 ∣ k ⟩ |k\rangle ∣k⟩，对某整数 c c c，满足 k s = c Q ⟺ k = c Q s ks=cQ\iff k=c\frac{Q}{s} ks=cQ⟺k=csQ，所以我们经过多次运行量子电路可以获得多个： c 1 Q s , c 2 Q s , … c T Q s c_1\frac{Q}{s}, c_2\frac{Q}{s}, \dots c_T\frac{Q}{s} c1sQ,c2sQ,…cTsQ，因此计算他们的最大公约数，在T很小的情况下，就能很大概率上获得我们想要的周期 s s s。

假如Q不是s的整数倍

假设对于量子态分量 ∣ k ⟩ |k\rangle ∣k⟩，有 k = c Q s + Δ k=c\frac{Q}{s}+\Delta k=csQ+Δ，则当 Δ \Delta Δ越小，其被观测的结果越大，接下来分析： ∑ l = 0 L − 1 w k s l = ∑ l = 0 L − 1 e 2 π i k s l / Q = ∑ l = 0 L − 1 e 2 π i ( c Q s + Δ ) s l / Q = ∑ l = 0 L − 1 e 2 π i Δ s l / Q \sum_{l=0}^{L-1}w^{ksl}=\sum_{l=0}^{L-1} e^{2\pi iksl/Q}=\sum_{l=0}^{L-1} e^{2\pi i(c\frac{Q}{s}+\Delta)sl/Q}=\sum_{l=0}^{L-1} e^{2\pi i \Delta sl/Q} ∑l=0L−1wksl=∑l=0L−1e2πiksl/Q=∑l=0L−1e2πi(csQ+Δ)sl/Q=∑l=0L−1e2πiΔsl/Q

因此，当 Δ \Delta Δ很小的时候，当 l l l在 0 ∼ L − 1 0\sim L-1 0∼L−1变化时，在复数单位圆上的变化如图，这种时候是方向相近的向量叠加，发生了constructive interference；
反之，当 Δ \Delta Δ较大时候，不同的向量方向差异较大，就会产生周期变化互相抵消，产生destructive interference，因为我们知道 L ≈ Q s L\approx \frac{Q}{s} L≈sQ，所以 Δ \Delta Δ接近1的时候这些量子幅就相当于分布在单位圆周围一圈了，如果再小上几倍，比如小10倍，其实就变成了相当的constructive interference。

所以，很高概率上，我们观察到的 k = c Q s + Δ k=c\frac{Q}{s}+\Delta k=csQ+Δ，是非常接近某个整数 c Q s c\frac{Q}{s} csQ的，其概率分布图如下：

因此， k = c Q s + Δ ⟺ k Q = c s + Δ Q ⟺ ∣ k Q − c s ∣ = Δ Q k=c\frac{Q}{s}+\Delta\iff \frac{k}{Q}=\frac{c}{s}+\frac{\Delta}{Q}\iff |\frac{k}{Q}-\frac{c}{s}|=\frac{\Delta}{Q} k=csQ+Δ⟺Qk=sc+QΔ⟺∣Qk−sc∣=QΔ，所以 ∣ k Q − c s ∣ = Δ Q |\frac{k}{Q}-\frac{c}{s}|=\frac{\Delta}{Q} ∣Qk−sc∣=QΔ是很小的 ( ∼ 1 Q ) (\sim \frac{1}{Q}) (∼Q1)，我们已知观测到的 k k k和 q q q个qubit ( Q = 2 q Q=2^q Q=2q)，不知道的是 c c c和 s s s，仅仅知道他们都是整数，且 s < < Q s<<\sqrt{Q} s<<Q 。

怎么求解 c c c和 s s s呢？请见下回Continued Fractions!

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