算法题硬币组合问题

原文：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2013/09/05/3303721.html

问题描述

　　假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200，那么一种可能的组合方式为 200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 问总过有多少种可能的组合方式？ (这道题目来自著名编程网站ProjectEuler, 点击这里查看原题目) 类似的题目还有：

　　[华为面试题] 1分2分5分的硬币三种，组合成1角，共有多少种组合

　　[创新工厂笔试题] 有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱，有多少中组合可以组成n分钱。

这个问题在链家的一次线下笔试碰到过。当时题目是1，2，5角硬币拼凑成sum的组合数。

当时的做法是sum/5=i，(sum-5*i)/2=j，写了几个for循环，效率较低。（面值越多复杂度越高）

后来发现这个题用动态规划很好做。

问题分析

　　给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币{V1, V2, ..., Vm}，如果要组合成sum，那么我们有

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数{x1, x2, ..., xm}的所有可能个数。

定义：dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。

那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数

dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]

+ dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

　　换一种更抽象的数学描述就是：

$dp[i][sum] = \sum_{k=0}^{sum/Vm} dp[i-1][sum - k*Vm]$

通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, ... , m

　　如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。

理解：也就是将用前i种面值组合的情况转化为前i-1的情况，

即用前i-1种面值拼凑成sum-k*Vm的情况加起来就是前i种的组合数。

二维数组解法：

public static int count(int[] coins,int n){int[][] dp = new int[coins.length+1][n+1];for(int i=0;i<coins.length+1;i++)dp[i][0] = 1;   //初始化，用前i种面值组合成0的方案为1for(int i=1;i<=coins.length;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=0;k<=j/coins[i-1];k++)dp[i][j] += dp[i-1][j-k*coins[i-1]];return dp[coins.length][n];}

一维数组解法：

public static int countWays(int[] coins,int n) {   int[] dp = new int[n+1];         dp[0] = 1;  for(int i = 0;i < coins.length;++i){  for(int j = coins[i];j <= n;++j){ dp[j] += dp[j-coins[i]];   }  }  return dp[n];  }

解法只能输出组合数，不能输出组合情况，待解决。