洛谷 P2829 大逃离题解

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一道模板的次短路

设 d i s [ x ] , d i s t [ x ] dis[x],dist[x] dis[x],dist[x] 分别为点 1 1 1 到 x x x 的最短路和次短路长度

我们只需在跑最短路时，顺带更新一下次短路
由于每个点可以经过多次，我们只能使用 SPFA

对于每条边 [ x , y ] [x,y] [x,y]，考虑 d i s t [ y ] dist[y] dist[y] 的转移：

最无脑的一种， d i s t [ y ] = d i s t [ x ] + w ( x , y ) dist[y]=dist[x]+w(x,y) dist[y]=dist[x]+w(x,y)，其中 w ( x , y ) w(x,y) w(x,y) 为当前边的长度
在最短路中，进行松弛操作后，满足当前的 d i s [ y ] dis[y] dis[y] 小于松弛前的 d i s [ y ] dis[y] dis[y]。那么，我们就可以用松弛前的 d i s [ y ] dis[y] dis[y] 去更新 d i s t [ y ] dist[y] dist[y]
如果， d i s [ y ] < d i s [ x ] + w ( x , y ) dis[y]<dis[x]+w(x,y) dis[y]<dis[x]+w(x,y)，说明 d i s [ x ] + w ( x , y ) dis[x]+w(x,y) dis[x]+w(x,y) 是一条次短路，所以 d i s t [ y ] = m i n ( d i s t [ y ] , d i s [ x ] + w ( x , y ) ) dist[y]=min(dist[y],dis[x]+w(x,y)) dist[y]=min(dist[y],dis[x]+w(x,y))。注意：这里更新的时间是在松弛操作之后

关键代码

for(int i=0;i<e[x].size();++i)
{int y=e[x][i].v;if(d[y]<k && y>1 && y<n)continue;int tmp=dis[x]+e[x][i].len;if(dis[y]>tmp) // 松弛{dist[y]=dis[y]; // 用老的 dis[y] 更新 dist[y]dis[y]=tmp;if(!vis[y])vis[y]=1,q.push(y);}else if(dist[y]>tmp && tmp!=dis[y]) // 如果 dis[x]+e[x][i].len 是一条次短路{dist[y]=tmp;if(!vis[y])vis[y]=1,q.push(y);}if(dist[y]>dist[x]+e[x][i].len){dist[y]=dist[x]+e[x][i].len;if(!vis[y])vis[y]=1,q.push(y);}
}

这里说一下，题目中提到的：一个点所直接连接的地方数量
这里的数量并不等于这个节点的度数（连边数），因为两个节点之间可能有多条边。这才是正确的打开方式：

for(int x=1;x<=n;++x)
{for(int i=0;i<e[x].size();++i){int y=e[x][i].v;if(!vis[y])++d[x];vis[y]=1;}memset(vis,0,sizeof(vis));
}

完整代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Maxn=10010,inf=0x3f3f3f3f;
struct edge{int v,len;edge(int x,int y){v=x,len=y;}
};
int dis[Maxn],dist[Maxn],d[Maxn];
bool vis[Maxn];
int n,m,k;
vector <edge> e[Maxn];
void spfa()
{fill(dis,dis+2+n,inf);fill(dist,dist+2+n,inf);queue <int> q;q.push(1),vis[1]=1,dis[1]=0;while(q.size()){int x=q.front();vis[x]=0;q.pop();for(int i=0;i<e[x].size();++i){int y=e[x][i].v;if(d[y]<k && y>1 && y<n)continue;int tmp=dis[x]+e[x][i].len;if(dis[y]>tmp){dist[y]=dis[y];dis[y]=tmp;if(!vis[y])vis[y]=1,q.push(y);}else if(dist[y]>tmp && tmp!=dis[y]){dist[y]=tmp;if(!vis[y])vis[y]=1,q.push(y);}if(dist[y]>dist[x]+e[x][i].len){dist[y]=dist[x]+e[x][i].len;if(!vis[y])vis[y]=1,q.push(y);}}}
}
int main()
{//  freopen("in.txt","r",stdin);scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=1;i<=m;++i){int x,y,c;scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);e[x].push_back(edge(y,c));e[y].push_back(edge(x,c));}for(int x=1;x<=n;++x){for(int i=0;i<e[x].size();++i){int y=e[x][i].v;if(!vis[y])++d[x];vis[y]=1;}memset(vis,0,sizeof(vis));}spfa();if(dist[n]==inf)puts("-1");else printf("%d\n",dist[n]);return 0;
}

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