符号三角形问题—回溯算法

问题描述：

下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”：

符号三角形第一行有n个符号，符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

解题思路：

1、不断改变第一行的每个符号，搜索符合条件的解，可以使用递归回溯。

为了便于运算，设+ 为0，- 为1，这样可以使用异或运算符表示符号三角形的关系：
++为+即0^0=0, --为+即1^1=0, +-为-即0^1=1, -+为-即1^0=1

2、因为两种符号个数相同，可以对题解树剪枝

当所有符号总数为奇数时无解，当某种符号超过总数一半时无解

算法设计：

在符号三角形的第一行的前i个符号x[1:i]确定后，就确定了一个由i*(i+1)/2个符号组成的符号三角形。

下一步确定了x[1:i]的值后，只要在前面确定的符号三角形的右边加一条边，就可以扩展为x[1:i]所对应的符号三角形。

在回溯法搜索过程中可用当前符号三角形所包含的“+”号个数与“-”号个数均不超过n*(n-1)/4作为可行性约束，用于剪去不满足约束条件的子树。

代码：

需要的数据：

        static int n;//第一行的符号个数static int half;//n*(n+1)/4static int count;//当前“+”或者“-”的个数static int[][] p;//符号三角形矩阵static long sum;//已找到的符号三角形的个数

初始化及计算：

public static float Compute(int nn) {n = nn;count = 0;sum = 0;half = (n*(n+1))>>1;if((half>>1)<<1 != half) {return 0;}half = half>>1;p = new int[n+1][n+1];backtrack(1);return sum;}

回溯算法1（仅用于计算行数或者列数为n的符号三角形的总数，没有显示符号三角形的功能，但是是核心代码）：

public static void backtrack01(int t) {if(count>half || (t*(t-1)/2-count > half)) {//对题解树的剪枝return;}if(t>n) {sum++;//符号三角形的总数目+1}else {//每个位置都有两种情况0,1for(int i = 0;i<2;i++) {p[1][t] = i;count += i;//对"-"个数进行技术，为了进行剪枝操作//接下来绘制其余的n-1行for(int j = 2;j<=t;j++) {//通过异或的方式求其余行数的放置方式p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];count += p[j][t-j+1];  }backtrack01(t+1);//恢复现场for(int j = 2;j<=t;j++) {count -= p[j][t-j+1];}count -= i;}}}

回溯算法2（具备打印符号三角形的功能）：

public static void backtrack(int t) {if((count>half)||(t*(t-1)/2-count > half)) //对题解树的剪枝return;if(t>n) {sum++;//打印符号三角形for(int i =1;i<=n;i++) {for(int k = 1;k<i;k++) {System.out.print(" ");}for(int j =1;j<=n;j++) {if(p[i][j] == 0 && j<=n-i+1) {System.out.print("+" + " ");}else if(p[i][j] == 1 && j<=n-i+1) {System.out.print("-" + " ");}else {System.out.print("  ");}}System.out.println();}System.out.println();}else {//每个位置都有两种情况0,1for(int i =0;i<2;i++) {p[1][t] = i;count += i;//计算“-”的个数//接下来绘制其余的n-1行for(int j = 2;j<=t;j++) {//通过异或的方式求其余行数的放置方式p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];count += p[j][t-j+1];}backtrack(t+1);//恢复现场for(int j =2;j<=t;j++) {count -= p[j][t-j+1];}count -= i;}}}

完整代码：

package tri;public class TRAN {static int n;//第一行的符号个数static int half;//n*(n+1)/4static int count;//当前“+”或者“-”的个数static int[][] p;//符号三角形矩阵static long sum;//已找到的符号三角形的个数public static float Compute(int nn) {n = nn;count = 0;sum = 0;half = (n*(n+1))>>1;if((half>>1)<<1 != half) {return 0;}half = half>>1;p = new int[n+1][n+1];backtrack(1);return sum;}/*** 算法1* @param t*//*public static void backtrack01(int t) {if(count>half || (t*(t-1)/2-count > half) {//对题解树的剪枝return;}if(t>n) {sum++;//符号三角形的总数目+1}else {//每个位置都有两种情况0,1for(int i = 0;i<2;i++) {p[1][t] = i;count += i;//对"-"个数进行技术，为了进行剪枝操作//接下来绘制其余的n-1行for(int j = 2;j<=t;j++) {//通过异或的方式求其余行数的放置方式p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];count += p[j][t-j+1];   }backtrack01(t+1);//恢复现场for(int j = 2;j<=t;j++) {count -= p[j][t-j+1];}count -= i;}}}*/public static void backtrack(int t) {if((count>half)||((t*(t-1)/2-count > half)) //对题解树的剪枝return;if(t>n) {sum++;//打印符号三角形for(int i =1;i<=n;i++) {for(int k = 1;k<i;k++) {System.out.print(" ");}for(int j =1;j<=n;j++) {if(p[i][j] == 0 && j<=n-i+1) {System.out.print("+" + " ");}else if(p[i][j] == 1 && j<=n-i+1) {System.out.print("-" + " ");}else {System.out.print("  ");}}System.out.println();}System.out.println();}else {//每个位置都有两种情况0,1for(int i =0;i<2;i++) {p[1][t] = i;count += i;//计算“-”的个数//接下来绘制其余的n-1行for(int j = 2;j<=t;j++) {//通过异或的方式求其余行数的放置方式p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];count += p[j][t-j+1];}backtrack(t+1);//恢复现场for(int j =2;j<=t;j++) {count -= p[j][t-j+1];}count -= i;}}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubfloat SUM = Compute(4);    System.out.print("总数： " + SUM);}}

以行数为4的符号三角形为例，显示输出如下：

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