10月27日备战Noip2018模拟赛11（B组）

T4路径好路线

题目描述

nodgd在旅游。现在，nodgd要从城市的西北角走到东南角去。这个城市的道路并不平坦，nodgd希望找出一条相对比较好走的路
.nodgd事先已经得到了这个城市的地图。地图上这个城市是一个nxm的矩形，nodgd现在站在坐标为（1,1）的位置，需要到达坐标为（n，m）的位置。这张地图上用非负整数标记了每个整数坐标点的海拔，坐标为（x，y）的位置的海拔是h（x，y）.nodgd希望找出一条路线，路线中任意时刻都在向正东或向正南走，而且只在整数坐标点的地方转弯，使得路上经过的n + m -1个整数坐标点的海拔的方差最小。然而万能的nodgd当然知道该怎么走，也当然知道方差最小是多少，只是想顺便考考你。假如
有ķ个实数X1，X2，...，XK，平均值则 $\bar{x}$ 定义为
$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2}+...+x_{k}}{k}$

方差 $\sigma ^{2}$ 的定义为

$\sigma ^{2} = \frac{\left ( x_{1} - \bar{x} \right )^{2} + \left ( x_{2} - \bar{x} \right )^{2}+...+\left ( x_{k} - \bar{x} \right )^{2}}{k}$

本题为了方便，只需输出 $\left ( n + m - 1 \right )^{2} * \sigma ^{2}$ 的值就可以了

输入格式

第一行输入两个整数N，M，表示城市的大小。

接下来Ñ行，每行米个数，其中第X行第ý个数就是H（X，Y）。

输出格式

输出一行一个整数，表示 $\left ( n + m - 1 \right )^{2} * \sigma ^{2}$ 的最小值。

输入样例

2 2
1 2
3 4

输出样例

样例解释

有两条路1-2-4和1-3-4，方差都等于14/9，所以方差最小值是14/9，输出14。

数据范围

对于30％的数据，1≤n，m≤10;

对于50％的数据，1≤n，m≤20;

对于100％的数据，1≤n，m≤50,0≤h（X，Y）≤50

思路

dp [i] [j] [k]表示在第i行，第j列，海拔和为k的海拔的平方的最大和

dp [i] [j] [k] = min（dp [i] [j - 1] [k - h [i] [j]]，dp [i - 1] [j] [k - h [i] [j]]）+ h [i] [j] * h [i] [j];

至于平方和和方差之间的关系，稍微算一算就十分显然了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>using namespace std;const int MAXN = 55;
const int MAXS = 5005;
const int INF = 0x3fffffff;int n, m, tmp, last;
int dp[MAXN][MAXN][MAXS];
int h[MAXN][MAXN], Max[MAXN][MAXN], Min[MAXN][MAXN];
long long ans;inline int read ();int  main ()
{freopen("path.in", "r", stdin);freopen("path.out", "w", stdout);n = read (), m = read ();for (int i = 1; i <= n; ++ i){for (int j = 1; j <= m; ++ j){h[i][j] = read ();Max[i][j] = max (Max[i - 1][j], Max[i][j - 1]) + h[i][j];Min[i][j] = min (Min[i - 1][j], Min[i][j - 1]) + h[i][j];}}for (int i = 0; i <= n; ++ i){for (int k = 0; k <= Max[n][m]; ++ k){dp[i][0][k] = INF;}}for (int j = 0; j <= m; ++ j){for (int k = 0; k <= Max[n][m]; ++ k){dp[0][j][k] = INF;}}dp[0][1][0] = 0;dp[1][0][0] = 0;ans = 9223372036854775800;for (int i = 1; i <= n; ++ i){for (int j = 1; j <= m; ++ j){tmp = h[i][j] * h[i][j];for (int k = 0; k < Min[i][j]; ++ k){dp[i][j][k] = INF;}for (int k = Max[i][j] + 1; k <= Max[n][m]; ++ k){dp[i][j][k] = INF;}for (int k = Min[i][j]; k <= Max[i][j]; ++ k){last = k - h[i][j];dp[i][j][k] = min (dp[i - 1][j][last], dp[i][j - 1][last]) + tmp;}}}for (int k = Min[n][m]; k <= Max[n][m]; ++ k){//printf ("ans = %d, k = %d\n", ans, k);//printf ("dp[n][m][k] = %d\n", dp[n][m][k]); ans = min (ans, 1ll * dp[n][m][k] * (n + m - 1) - 1ll * k * k);}printf ("%d", ans);fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;} inline int read ()
{char ch = getchar ();while (!isdigit (ch)) ch = getchar ();int x = 0;while (isdigit (ch)) {x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar ();}return x;
}

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