codeforces Round #675 (Div. 2) 1422C Bargain

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题目翻译：

有时候想在讲价上达成一致不是一件容易的事。现在Sasha和Vova就没法达成一致:Sasha出了一个尽可能高的价格，然后Vova想要从中去除尽可能多的数字。说得更详细一些，Sasha出了一个价格整数n，Vova去除价格中的一段（连续的）非空子串，剩余的数字再组合在一起，结果就是最终的价格。
比如，Sasha出价1213121，Vova可以去除子串1312，结果就是121。
结果允许有前导零。如果Vova去除所有的数字，最终的结果就是0。
Sasha想要提出一些限制，让Vova不能移除所有的数字，但他需要一些论据来支持这些限制。首先，他想要计算出所有被Vova移除之后的可能结果的总和。
因为答案会非常大，输出对10⁹+7取余的结果。

解题思路：

我们可以对每一个数字逐个讨论，对于数字3，如果其有对最终结果做出贡献（即没有被去除的情况下），则有两种情况：①被去除的子串在3之前；②被除去的子串在3后面。
· 如果是第①种情况，3所占的位数始终是不变的，都是千位。共有6种可能：

其中数字3做出的贡献就是3000×6=18000。而这个6是怎么来的呢？显然就是3+2+1=6。总结一下就是，对于下标为i（下标从0开始，从后往前遍历，总长设为len）的数字，第①种情况共有(len-i)*(len-i-1)/2种可能，做出的贡献为(s[i]-'0')*pow(10,i)*(len-i)*(len-i-1)/2，其中s是Sasha给出的价格，为字符串类型。
· 如果是第②种情况，同样有6种可能：

数字3做出的贡献就是3×(3×100+2×10+1)=3×321=963。看着似乎也有些规律，来分析一下：如果一开始数字3后面有四个数，那么原式中的321就会变成4321。因此我们可以用变量tmp来保存当前的要乘以的数，那么相对于下标为i的数字，做出的贡献为(s[i]-'0')*tmp，而每次循环之后tmp如何变化，下面再讲。
这样我们就可以计算出每个数字对结果的贡献。但是还有一个问题，Sasha给出的价格的范围为1≤n<10¹⁰^⁵，根本没法计算，比如在第①种情况，(s[i]-'0')*pow(10,i)*(len-i)*(len-i-1)/2中的pow(10,i)直接挂掉。这个时候我们就要对一些像10,100,1000之类的数字先做一遍取余，保存在数组f中，f[i]就表示pow(10,i)取余之后的结果，这样代码就会变成(len-i)*(len-i-1)/2%MOD*f[i]*(s[i]-'0')%MOD;。而在第②种情况，tmp显然也会挂掉，所以每次在更新tmp的时候，也要对tmp进行取余。而tmp要如何变化呢？答案就是temp=((i+1)*f[i]%MOD+temp)%MOD;，想象从321到4321的过程，你一定能看懂这段代码。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N = 1e5+10,MOD = 1e9+7;
string s;
long long len,ans=0,temp=0,f[N],ans1=0,ans2=0;
int main(){//  freopen("1.txt","r",stdin);cin>>s;len=s.size();reverse(s.begin(),s.end());f[0]=1,f[1]=10;for(int i=2;i<N;i++){f[i]=(f[i-1]*10)%MOD;} for(int i=0;i<s.size();i++){ans1=(len-i)*(len-i-1)/2%MOD*f[i]*(s[i]-'0')%MOD;ans2=(s[i]-'0')*temp%MOD;temp=((i+1)*f[i]%MOD+temp)%MOD;ans+=(ans1+ans2)%MOD;ans%=MOD;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

总结：

这题没做出来，一直感觉就差一点点，最后一直runtime error。比赛后又交了，结果TLE，看来思路都是错的。后来看了一些博客，感觉自己肯定不会，也不会想明白。最后还是硬着头皮写了出来，毕竟写了这么久，不AC怎么行。

参考博客：

Codeforces Round #675 (Div. 2) C - Bargain （推导）
感谢这位博主，在我想放弃这题的时候给了我希望。