[线性代数]n维向量(秦静老师主讲)
本章主要讲述n维向量的方面知识。n维向量在我们计算机上就是一块数组,在数学里用处就比较大了。
向量及其线性运算
向量分为行向量和列向量,在本小节先把基本概念拎清楚
向量α长度或范数
如果在matlab里听见让我们求范数,那就是求模长。
不要小看这个模,这个模,在后面的章节里,可以作正交化。
向量的单位化
除以他的模长!
本来(1,1),范数根号2.这样一处之后,然后平方和就变得单位化了。
线性运算
加减与数乘都是对应分量做运算。
加法:对应分量做加法
减法:对应分量做减法
数乘:数乘以每个分量
对应的8条运算规律
线性组合(表示)
对,对,对,就是从这里线性代数变得更加理论化。后面的线性相关求极大无关组都是从这里起源的。
定义
官方定义:
说的直白一点就是一个向量可以另外几个向量做线性运算得到。
例子
怎么说?按照定义找线性表示的系数。但是如果按照线性运算来看,直接统统设出来,然后按照运算一个个解决。
向量组的等价
官方定义:
直接可以理解成,我的向量可以由你做运算来得到,你的向量可以由我做运算来得到。
向量组的线性相关性
刚才之前小节来的是线性组合(表示),现在是线性相关性。放出官方定义:
就是寻找一组k是否存在,如果存在那肯定是线性相关的,反之就是线性无关的。
对于后面两三个定义,简直是福利!
其实了解了这个,才发现如何鉴定两个向量是否线性相关,直接看他们对应分量成比例
例子
大家会发现,从这里任意取两个向量,它们都是不成比例,因此无法线性相关。
向量组的相关性
如果把这些系数做成行列式,行列式为0,那么就线性相关的,如果不为0那就线性无关的。
这时候可以轻松回答这个问题:
这个为什么?因为含有零的向量,它的行列式为0.
例子
先把结论设出来,然后再把β那个式子带进去,利用线性无关得出表示系数为0,整出行列式,算一下行列式的值,推出结论线性无关。
相关性的判定及有关重要结论
没错,就是从这里,结论不去背诵,然后就开始有点懵的鸭坯。
线性相关与线性组合的关系定理
如果纯粹讲定理是很枯燥的,如果讲定理背后蕴含的做题原则就很有东西了。
线性相关===>组合后式子为0
线性表示====>对应分量成比例
因此就可以直接从前面推出后面
因为相关,组合式子为0,设出一个系数不为0,一个可由另外m-1线性表示了,这样必要性就证明了。
反之证明充分性的时候扣紧定义,就可以推回来
总结:紧扣定义产生的效果,让我们从繁复的条件中找到曙光。
添加向量无关变有关
相关性的判定定理
在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关则整个向量组也必定线性相关。
它的逆否命题就可以变成推论:一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。
用秩判定相关性
r(A)<m。这也将判定相关性变成对秩的判断。
推论1:当m>n时,m个n维向量线性相关.
推论2:任意m个n维向量线性无关的充要条件由它们构成的矩阵A=A(m*n)的秩r(A)=m.
推论3:任意n个n维向量线性无关的充要条件由他们构成的方阵A的行列式不等于零。或r(A)=n.
推论4: 任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。或r(A)<n.
添加分量线性无关向量组
线性无关的向量组,添加分量后仍旧线性无关。
讲了一大堆定理,还是围绕判定和添加分量后继续判断有关。
例子
先给问题相相面,这是让我们用p确定,线性无关。
因此把行列式写出来,默念口诀4个4维向量r(A)<4就可以了,然后即可往后面做。
向量组的极大无关组
向量组的极大无关组它是基于之前的线性相关和线性表示。
这个可以理解成其中的一个向量不能由另外向量线性表示,若添上一个向量他就可以线性表示了,那么这些向量组就是向量T的极大无关组
求向量组的极大无关组
把他们做成矩阵形式,然后按照判断秩与向量的个数,得出向量的极大无关组
r(A)=2<3,说明秩小于向量的个数,可以说它们三个向量线性相关。
相关推论
一提到推论,就很难将他们说明白,
这个推论由定理推的,这个定理是由线性表示来证明的。
反过来去证明就是能出来,推论中若线性无关那就r<=s,反之那就r>s.
然后在看这个的时候,嘴里默念,任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等,一个向量组…这里可以看出极大无关组的向量个数是可以确定的。
向量组的秩
极大无关组的所含向量个数称为向量组的秩。从这里我们会探寻如何确定向量组的秩。
向量组的等价
两个维数相同的向量组,各自都可以由对方线性表示。
练习
这道题还是把他们摆开,然后因为线性相关可以做线性运算,然后算出相关。k=±1
向量组的秩的求法
其实本小节就是个练习课,在练习中给出了定义。
求向量组的秩及极大无关组
列摆行变换将矩阵化为梯形阵后,秩即求出来了。这时,只要在每一高度上取一个向量,相同高度取左,即可得到极大无关组。
向量空间
向量在非空集合中做加法或数乘运算还在空间里,那么称这种空间为向量空间。
向量空间的基
若n维向量空间中向量组,各向量线性无关,有一个向量α存在的话,可以线性表示那么就称它们是V的一个基。
向量空间的维数
基中所含向量个数r称为向量空间的维数。
提示
若将向量空间视作向量组,则基就是向量组的极大线性无关组,维数就是向量组的秩.
因此,基与维数的求法类似于向量组的极大无关组与秩的求法。
向量在基下的坐标
看来只需要去寻找方法做就行了。
向量组有了,维数就是向量组的秩,根据极大线性无关组就是向量组空间的一组基
练习
先按照基下的坐标把定义先求出来。然后把它变成矩阵方程形式,最后进行求解。
练习
因为这个他组成的行列式不为0,因此满秩,所以线性无关,因此任一三维向量可由a1,a2,a3唯一线性表示,然后推出属于。
向量的正交性
向量的内积
两个向量对应分量做乘法。然后加起来。
看起来是显而易见的,但是如果不去记忆,就会在证明中颇费周折。
向量的单位化
单位化在数学建模中也运用的特别多,比如去除量纲。
向量的正交性
就是这个正交,在后面别说建模了,就连二次型和相似对角形都运用广泛。
也就是这个
为0.若一组向量组都相互正交那么就说这个向量组为正交向量组。
这种也称为单位正交组或者标准正交组。
正交向量组的性质
正交向量组可以推出线性无关。
向量组的正交规范化
斯密特正交化法被广为流传,还是记住吧:(
正交矩阵
若a的转置乘以A=E,则称A为n阶正交矩阵。
正交矩阵的判定
若A为正交矩阵,它乘以它的转置应该是等于E的
练习
尝试证明正交向量组必为线性无关的。
解答:从正交矩阵可以推出内积为0,然后凑出一组内积为0,然后根据k=0,推出线性无关。
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