基于李雅普诺夫函数的跟踪控制（三）

前言

本系列将会介绍基于李雅普诺夫函数的跟踪控制问题，以多个不同的例子来具体说明，如何根据李雅普诺夫函数来求解控制律，实现跟踪控制。总共分为7篇博客讲解，分别针对不同的情况。

跟踪控制—系列博客总览

一阶时不变系统，系统已知，且无扰动
一阶时不变系统，系统已知，有扰动
高阶时不变系统，系统已知，且无扰动
一阶时不变系统，系统部分已知，且无扰动
一阶时变系统，系统部分已知，且无扰动
一阶时变系统，系统部分未知，且有扰动
一阶时不变系统，系统完全未知，且无扰动

本期讲解的是：高阶时不变系统，系统已知，且无扰动。

问题描述

已知系统
x˙=f(x)+uy˙=x(1)\begin{matrix} \dot x=f(x)+u \\ \dot y=x \tag{1} \end{matrix} x˙=f(x)+uy˙=x(1)
其中，f(x)f(x)f(x)已知，,求解uuu使得yyy跟踪ydy_dyd。

求解

对于这个问题，首先得拆解问题，首先设计xxx跟踪ydy_dyd，然后设计uuu跟踪xdx_dxd。

(1) 设计xxx跟踪ydy_dyd

设xxx跟踪ydy_dyd的误差及其导数
e1(t)=yd(t)−y(t)(2)e_1(t)=y_d(t)-y(t) \tag{2}e1(t)=yd(t)−y(t)(2)
e1(t)˙=yd(t)˙−y(t)˙=yd(t)˙−x(3)\dot {e_1(t)}=\dot{y_d(t)}-\dot{y(t)} = \dot{y_d(t)}- x \tag{3}e1(t)˙=yd(t)˙−y(t)˙=yd(t)˙−x(3)

取李雅普诺夫函数:
V1=12e12(4)V_1 = \frac{1}{2}e_1^2 \tag{4} V1=21e12(4)
则，V˙1=e1(e˙1)=e1(yd(t)˙−x)(5)\dot V_1 = e_1(\dot e_1) = e_1(\dot{y_d(t)}- x) \tag{5} V˙1=e1(e˙1)=e1(yd(t)˙−x)(5)

令：
−k1e1==yd(t)˙−x(8)-k_1e_1= = \dot{y_d(t)}- x \tag{8} −k1e1==yd(t)˙−x(8)
则可以得到：

V˙1=−k1e12(7)\dot V_1 = -k_1e_1^2 \tag{7} V˙1=−k1e12(7)
所以：
xd=yd(t)˙+k1e1(8)x_d=\dot{y_d(t)}+k_1e_1 \tag{8} xd=yd(t)˙+k1e1(8)

(2) 设计uuu跟踪xdx_dxd

设uuu跟踪xdx_dxd的误差及其导数
e2(t)=xd(t)−x(t)(9)e_2(t)=x_d(t)-x(t) \tag{9}e2(t)=xd(t)−x(t)(9)
e2(t)˙=xd(t)˙−x(t)˙=yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)−u(t)(10)\dot {e_2(t)}=\dot{x_d(t)}-\dot{x(t)} = \ddot{y_d(t)}+k_1( \dot{y_d(t)}-x)-f(x)-u(t) \tag{10}e2(t)˙=xd(t)˙−x(t)˙=yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)−u(t)(10)

取李雅普诺夫函数:
V2=12e22(11)V_2 = \frac{1}{2}e_2^2 \tag{11} V2=21e22(11)
则，V˙2=e2(e˙2)=e2(yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)−u(t))(12)\dot V_2 = e_2(\dot e_2) = e_2( \ddot{y_d(t)}+k_1( \dot{y_d(t)}-x)-f(x)-u(t)) \tag{12} V˙2=e2(e˙2)=e2(yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)−u(t))(12)

令：
−k2e2==yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)−u(t)(13)-k_2e_2= = \ddot{y_d(t)}+k_1( \dot{y_d(t)}-x)-f(x)-u(t) \tag{13} −k2e2==yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)−u(t)(13)
则可以得到：

V˙2=−k2e22(14)\dot V_2 = -k_2e_2^2 \tag{14} V˙2=−k2e22(14)
所以：
u(t)=yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)+k2e2(15)u(t) = \ddot{y_d(t)}+k_1( \dot{y_d(t)}-x)-f(x) +k_2e_2 \tag{15} u(t)=yd(t)¨+k1(yd(t)˙−x)−f(x)+k2e2(15)

(3) 同时收敛分析

以上的V1V_1V1和V2V_2V2必须保证同时收敛，也就是能够同时实现xxx跟踪ydy_dyd，然后设计uuu跟踪xdx_dxd。

因此取：

V=V1+V2=12e12+12e22(16)V = V_1+V_2= \frac{1}{2}e_1^2 + \frac{1}{2}e_2^2 \tag{16}V=V1+V2=21e12+21e22(16)
V˙=V1˙+V2˙=−k1e12−k2e22(17)\dot V = \dot{V_1}+\dot{V_2}= -k_1 e_1^2 - k_2 e_2^2 \tag{17}V˙=V1˙+V2˙=−k1e12−k2e22(17)
dotV<=0dot V <=0dotV<=0,而且VVV是一个负定的，因此，当存在e1e_1e1和e2e_2e2不等于0时，一定有V˙<0\dot V <0V˙<0，VVV将会一直下降，同时VVV是满足V>=0V >=0V>=0，所以VVV就会一直趋近于0，即e下降，直到e=0e=0e=0。因此当e1e_1e1和e2e_2e2都为0时，系统才会稳定。