【算法编程】乘方取模

须知：

编程题中有时会出现大数的乘方取模，此时我们不能使用简单的pow函数。
例如(a^b)%m,若a^b的结果超出计算机数据的存储范围，再去取模，结果显然不对，我们为了防止溢出，可以先分别对a取模,b取模，再求和，输出的结果相同。
a mod b表示a除以b的余数。有下面的公式：
(a + b) % m = (a%m+ b%m) %m
(a - b) % m = ( (a%m- b%m) + m) %m
(a * b) % m = (a%m)*(b%m) %m (a ^ b)% m = ((a%m)^b)%m

常见的方法有：二分思想、快速幂取模。

最简单的做法：

long long Pow(long long a,long long b){long long ans = 1;for(int i = 0;i < b;i++){ans *= a;}return ans;
}

可以看到，算法的时间复杂度是O(n)。为了降低时间复杂度，我们希望使用一些方法来降低时间复杂度。

1、二分思想：

(a ^ b)% m = $(a^{\frac{b}{2}})^{2}$ %m b为偶数

$(a^{\frac{b}{2}})^{2}$ %m *a %m b为奇数

根据上面的公式就可以把时间复杂度从o（n）变为o（logn），具体的程序实现过程如下：

long long  binarypow(long long  a,long long  b,long long  m){if(b==1) return a%m;else if(b%2==0){long long  k=fun(a,b/2,m);return (k*k)%m;}else{long long  k=fun(a,b/2,m);return (((k*k)%m)*(a%m))%m;}
}

2、快速幂取模:

根据引理：积的取余等于取余的积的取余。即(a * b) % m = (a%m)*(b%m) %m

long long quickpow(long long a,long long b ,long long m){long long k=1;while(b>0){if(b&1){k=(k*a)%m;}b=b>>1;a=(a*a)%m;}return k;
}

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