数学物理方程第二章线性偏微分方程的通解

n阶线性偏微分方程的求解对于我目前的问题来说没什么用，我只是解二阶线性偏微分方程。

下面我只讲二阶方程如何解

2.1 一维波动方程的解

2.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 Lu=0 (当然2.2.1简单的讨论了非齐次的情形)

2.2.1 L(Dx,Dy)为Dx与Dy的齐次式只考二阶

代数特征方程的解都不相同 α=a1，a2 a1 != a2

那么 u=Φ1*(y+a1*x) + Φ2*(y+a2*x)

代数特征方程的解都相同 α=a1，a2 a1=a2=a

那么 u=x*Φ1*(y+a*x) + Φ2*(y+a*x)

注：代数特征方程的写法如下

(Dx**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2)u = 0

L = Dt**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2 = (Dt - a*Dx)**2

令 α=Dt/Dx

则代数特征方程为 (α-a)**2 = 0

2.2.1 L(Dx,Dy)不为Dx与Dy的齐次式只考一阶

(Dx-α*Dy-β)*u = 0

则u=Φ*(y + αx)*exp(βx)

2.2.1 分解因式

先看L能否分解因式，如果能的话，对各个因式分别写出代数特征方程进行求通解

最后将所有因式的通解求和，便是最终的通解u

2.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 Lu=f(x,y)

2.3.1 f=exp(ax+by)

方程特解 u* = 1/L(a,b)*f

2.3.1 f=exp((ax+by)*i)

方程特解 u* = 1/L(i*a,i*b)*f

2.3.1 f=sin(ax+by) 或 cos(ax+by)

方程特解 u*只要取 1/L(i*a,i*b)*f 相应的实部或虚部即可

2.3.1 f=g(x,y)*exp(ax+by)

先求解 Lv=g(x,y) 得该方程的特解v*

最终方程特解 u* = v* * exp(ax+by)

2.3.1 f= g(ax+by) L为Dx Dy的n次

方程特解 u* = 1/L(a,b)*G(z)

注：令z=ax+by G(z)是g(z)的n次积分

2.3.1 f=x^m * y^n 或 f=x^m + y^n

L = Dx

特解u*=1/Dx * f

注：相当于f对x求积分

L = DxDy

特解u*=1/Dx/Dy * f

注：相当于f先对y积分再对x积分

注：Dx*G 相当于G对x求导；1/Dx*G 相当于G对x求积分

注：有时还需利用级数展开

如这个式子，利用1/(1-x) 展开，高阶的省略，只保留前 max(m,n) 阶即可

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