王道408数据结构——第二章 线性表
文章目录
- 一、线性表的定义和基本操作
- 线性表
- 顺序表
- 1.插入操作
- 2.删除操作
- 3.按值查找（顺序查找）
- 二、单链表
- 1. 头插法
- 2. 尾插法
- 3. 按序号查找
- 4. 按值查找
- 5. 插入结点
- 6. 删除结点
- 7. 求表长
- 三、 双链表
- 1. 插入
- 2. 删除
- 四、循环链表
- 五、静态链表
- 六、顺序表和链表的比较
- 七、特殊矩阵的压缩储存
- 数组的定义
- 数组的存储结构
- 矩阵的压缩存储
- 1. 对称矩阵
- 2. 三角矩阵
- 3. 三对称矩阵（带状矩阵）
- 4. 稀疏矩阵
- 八、广义表
- 广义表的定义
- 广义表的操作
一、线性表的定义和基本操作
线性表
线性表是具有相同数据类型的n个数据元素的有限序列，其中n为表长，n=0是为一个空表。除第一个元素外，每一个元素有且仅有一个直接前驱，除最后一个元素外，每一个元素有且仅有一个直接后驱。
顺序表
线性表的顺序存储称为顺序表，是用一组地址连续的存储单元一次存储线性表中的数据结构，从而使得逻辑上相邻的两个元素在物理位置上也相邻。
线性表的位序是从1开始的，而数组元素的下标从0开始。
1.插入操作
最好情况：表尾插入，时间复杂度O(1)
最坏情况：表头插入，时间复杂度O(n)
平均情况：n/2
平均时间复杂度：O(n)
2.删除操作
最好情况：删除表尾元素，时间复杂度O(1)
最坏情况：删除表头元素，时间复杂度O(n)
平均情况：(n-1)/2
平均时间复杂度：O(n)
顺序表插入和删除的时间主要耗费在移动元素上，而移动元素的个数取决于插入删除元素的位置。
3.按值查找（顺序查找）
最好情况：查找的元素在表头，时间复杂度O(1)
最坏情况：查找的元素在表尾或不存在，时间复杂度O(n)
平均情况：(n+1)/2
平均时间复杂度：O(n)
二、单链表
线性表的链式存储又称单链表，指通过一组任意的存储单元来存储线性表中的数据元素。对每个链表结点，除存放元素自身信息外，还需要存放一个指向其后继节点的指针。
利用单链表可以解决顺序表需要大量连续存储单元的缺点，但单链表附加指针域，存在浪费空间的缺点。由于单链表的元素离散地分布在存储空间中，所以单链表是非随机存取的存储结构。
如果要访问某个结点的前去前驱结点，只能从头开始遍历。
头节点：在单链表的第一个结点前附加一个结点。头结点可以不设任何信息，也可以记录表长等信息。引入头结点可以带来两个优点：
- 链表的第一个位置的操作可以和其他位置相统一。
- 无论链表是否为空，其头指针都指向头结点，因此空表和非空表的操作得到统一。
1. 头插法
将新结点插入当前链表的表头，即头结点之后。
读入数据的顺序和生成链表中的元素顺序是相反的，总时间复杂度为O(n)
2. 尾插法
增加一个尾指针，使其始终指向当前链表的尾结点。可使导入数据和链表元素的顺序一致，总时间复杂度为O(n)。
3. 按序号查找
时间复杂度O(n)
4. 按值查找
时间复杂度O(n)
5. 插入结点
插入结点的代码片段如下
p = getElem(L, i-1); // 移动到插入位置前一个结点
s->next = p->next;
p->next = s;
算法时间开销主要在于查找第i-1个元素，时间复杂度为O(n)；如果在给定结点后插入，时间复杂度仅为O(1)。
6. 删除结点
代码片段如下
p = getElem(L, i-1);
q = p->next;
p->next = q->next;
free(q);
// 第二、三步顺序不能颠倒
该算法的时间复杂度也耗费找查找操作上，时间复杂度为O(n)。
7. 求表长
时间复杂度O(n)
三、 双链表
双链表结点有两个指针，分别指向其前驱结点和后继结点。
1. 插入
在p所指结点之后插入*s
s->next = p->next;
p->next->prior = s;
s->prior = p;
p->next = s;
/// 第一、二步必须在第四步之前
2. 删除
在p后删除q
p->next = q->next;
q->next->prior = p;
free(q);
四、循环链表
将单链表最后一个结点的指针改为指向头结点，形成循环单链表。判空条件是头结点的指针是否指向自身。
循环单链表可以从表中任意一个结点开始遍历整个链表。
有时单链表常用操作是在表头和表尾进行的，此时不设头指针而仅设尾指针。
五、静态链表
借助数组来描述线性表的链式结构，结点也有数据域和指针域。与链表的指针不同，静态链表的指针是结点的相对地址（数组下标），又称游标。
静态链表需要预先分配一块连续的内存空间。
六、顺序表和链表的比较
| —————— | 顺序表 | 链表 |
|---|---|---|
| 存取（读写）方式 | 既可以顺序存取，也可以随机存取 | 只能从表头顺序存取元素 |
| 逻辑结构与物理结构 | 逻辑上相邻的元素，对应的物理存储位置也相邻 | 逻辑上相邻的元素，物理存储位置不一定相邻，其对应的逻辑关系通过指针链接来表示 |
| 按值查找 | 顺序表有序时，可采用折半查找，时间复杂度为O(log2n)O(log_2n)O(log2n)，若无序，时间复杂度为O(n) | 时间复杂度为O(n) |
| 按序号查找 | 顺序表支持随机访问，时间复杂度仅为O(1) | 时间复杂度为O(n) |
| 插入、删除 | 平均需要移动半个表长的元素 | 只需修改相关结点的指针域 |
| 空间分配 | 在静态存储分配情形，一旦存储空间装满就不能扩充，加入新元素会导致内存溢出，因此需要预先分配足够大的空间。但预先分配过大，会导致后部空间大量闲置；动态存储分配虽然存储空间可以扩充，但需要移动大量元素，导致操作效率降低，若内存没有更大块的连续存储空间，则会导致分配失败。 | 链式存储的结点空间只需在需要是申请，只要内存有空间就可以分配，操作灵活、高效。 |
如何选取存储结构：
- 基于存储考虑：难以估计线性表的长度或存储规模时，不宜采用顺序表；链表实现不用估计存储规模，但链表的存储密度较低。
- 基于运算考虑：如经常做的运算时按序号访问元素，则顺序表优于链表；如经常进行插入、删除操作，链表较优。
- 基于环境考虑：任何高级语言都有数组类型，顺序表较容易实现；链表的操作是基于指针的。
通常，较稳定的线性表选择顺序存储，而频繁进行插入、删除操作的线性表（动态性强）宜选择链式存储。
七、特殊矩阵的压缩储存
数组的定义
数组是由n（n ≥\ge≥ 1）个相同类型的数据元素构成的有序序列。
每个元素在线性关系中的序号称为该元素的下标，下标的取值范围称为数组的维界。
数组是线性表的推广：一维数组可视为一个线性表，二维数组可视为其元素也是定长线性表的线性表。
数组一旦被定义。其维数和维界就不再改变，因此除初始化和销毁外，数组只有存取元素和修改元素的操作。
数组的存储结构
对于多维数组，有按行优先和按列优先两种映射方法。
设二维数组Ah1×h2A_{h_1\times h_2}Ah1×h2的行下标和列下标范围分别为[l1,h1]，[l2,h2][l_1,h_1]，[l_2, h_2][l1,h1]，[l2,h2]。
其按行优先存储时，LOC(ai,j)=LOC(al1,l2)+[(i−l1)×(h2−l2+1)+(j−l2)]×LLOC(a_{i,j})=LOC(a_{l_1,l_2})+[(i-l_1)\times (h_2-l_2+ 1)+(j-l_2)]\times LLOC(ai,j)=LOC(al1,l2)+[(i−l1)×(h2−l2+1)+(j−l2)]×L其按列优先存储时,LOC(ai,j)=LOC(al1,l2)+[(j−l2)×(h1−l1+1)+(i−l1)]×LLOC(a_{i,j})=LOC(a_{l_1,l_2})+[(j-l_2)\times (h_1-l_1+1)+(i-l_1)]\times LLOC(ai,j)=LOC(al1,l2)+[(j−l2)×(h1−l1+1)+(i−l1)]×L
矩阵的压缩存储
为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间，目的是节省空间。
1. 对称矩阵
将对称矩阵A[1…n][1…n]存放在一维数组B[n(n+1/2)]中，只存放下三角部分的元素。
2. 三角矩阵
下三角矩阵中，上三角区的所有元素均为同一常量，其储存思想与对称矩阵类似，不同之处在于储存完下三角区和主对角线上的元素后，在储存上三角取的常量一次。
943 2019年选择第9题默认矩阵下标从0开始
3. 三对称矩阵（带状矩阵）
三对角线上的元素ai,ja_{i,j}ai,j在一维数组中的下标为k=2+3(i-1)+(j-i+1)-1=2i+j-1（数组和元素下标均从0开始）。
4. 稀疏矩阵
矩阵中非零元素个数远小于矩阵元素的矩阵。
通常将非零元素及其相应的行和列构成一个三元组，然后按照一定规则储存这些三元组。
稀疏矩阵压缩存储后便失去了随机存储的特性。
八、广义表
c++中union关键字详见
广义表的定义
广义表的操作
getHead()：获得广义表的第一个元素；
getTail()：获得以广义表出第一个元素外的其余元素构成的广义表。
如：A=(a), B=(b,c,d)，C=(()),那么
getHead(A)=a, getHead(B)=b, getHead(C)=()
getTail(B)=(), getTail(B)=(c,d), getTail(C)=()
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