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N个节点的二叉树的形态数的推导
卡特兰数
相关例题的分析

1.问题

由N个节点构成的二叉树的形态数是多少。
例如，当n=1时，如下图所示，二叉树只有一种形态；

当n=2时，二叉树有2种形态。

那么 n 的值更一般的时候，是怎么推导的？
step 1.令 dp[i] 表示节点数为i时，其具有的形态个数；
step 2.根据常识有，dp[0] = 1； dp[1]=1；没有节点或者只有一个节点时，都是1。现在就以n=3为例，推一下n=3时的情形。考虑如何放这三个节点，分步骤来操作：
固定一个根节点，再将剩余的节点放到左右两个子树中。那么 dp[3] 就是这些方法的总和。放根节点的方法只有一个，那么问题就是放剩余的两个节点的方法有多少种？可以像下面这么安排：

左子树放2个，右子树放0个；

公式也就是
dp[1]*dp[2]*dp[0] = 2【dp[1]表示根节点是1个节点时的形态数目； dp[2]表示的是左子树有两个节点时的形态数目；dp[0]表示的是右子树有0个节点时的形态数目】
左子树放1个，右子树放1个；

公式：
dp[1]*dp[1]*dp[1] = 1【dp[1]表示根节点是1个节点时的形态数目； dp[1]表示的是左子树有1个节点时的形态数目；dp[1]表示的是右子树有1个节点时的形态数目】

左子树放0个，右子树放2个；

公式：
dp[1]*dp[0]*dp[2] = 2【dp[1]表示根节点是1个节点时的形态数目； dp[0]表示的是左子树有0个节点时的形态数目；dp[2]表示的是右子树有2个节点时的形态数目】
上述三个公式的和就是dp[3]。因为dp[1]=1，所以可以省去不写。
…
以此类推，那么得到的结果就是 dp[n] = dp[0]*dp[n-2] + dp[1]*dp[n-1] +.... + dp[n-1]*dp[1] + dp[n-2]*dp[0]。这个式子也就是著名的卡特兰数。

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