【数学分析】一致连续的一些证明方法

一致连续是函数的一个重要性质。与注重于函数在“一点”情况的连续性刻画不同，一致连续是对函数在一个区间性质的刻画。
一致连续的定义如下：

设 f ( x ) 在区间 X 上有定义。如果 ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , s . t . ∀ x 1 , x 2 ∈ X , 只要 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ , 都有 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ϵ , 就称 f ( x ) 在 X 上一致连续。设f(x)在区间X上有定义。如果\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,s.t.\\\forall x_1,x_2\in X,\\只要|x_1-x_2|<\delta,都有\\|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon,\\就称f(x)在X上一致连续。设f(x)在区间X上有定义。如果∀ϵ>0,∃δ>0,s.t.∀x1,x2∈X,只要∣x1−x2∣<δ,都有∣f(x1)−f(x2)∣<ϵ,就称f(x)在X上一致连续。.
- 注意：如果函数在大区间上一致连续，则函数在小区间上也一致连续
一致连续还有一个由振幅刻画的充要条件：

设 f ( x ) 在区间 X 上有定义，则 f ( x ) 在 X 上一致连续 ⟺ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , s . t . 对任意闭子区间 I ⊂ X , 只要 l ( I ) < δ , 都有 ω f ( I ) < ϵ , l ( I ) 表示区间长度设f(x)在区间X上有定义，则f(x)在X上一致连续\iff \\\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,s.t.\\对任意闭子区间I\sub X,只要l(I)<\delta,都有\\\omega_f(I)<\epsilon,l(I)表示区间长度设f(x)在区间X上有定义，则f(x)在X上一致连续⟺∀ϵ>0,∃δ>0,s.t.对任意闭子区间I⊂X,只要l(I)<δ,都有ωf(I)<ϵ,l(I)表示区间长度.
- 注：这个定理的证明是容易的
  
  一致连续的振幅刻画.pdf 懒得打Latex了
对于一致连续的另一个等价刻画是这样的：

f ( x ) 在区间 I 上一致连续 ⟺ ∀ { x n 1 } , { x n 2 } ⊂ I , 只要 x n 1 − x n 2 → 0 , n → + ∞ 就有 f ( x n 1 ) − f ( x n 2 ) → 0 ( n → ∞ ) f(x)在区间I上一致连续\iff\\\forall \{x_{n1}\},\{x_{n2}\}\sub I,只要x_{n1}-x_{n2}\rightarrow 0,n\rightarrow +\infty\\就有f(x_{n1})-f(x_{n2})\rightarrow 0(n\rightarrow \infty) f(x)在区间I上一致连续⟺∀{xn1},{xn2}⊂I,只要xn1−xn2→0,n→+∞就有f(xn1)−f(xn2)→0(n→∞).
- 注：这个证明也不复杂，对于右推左考虑反证法
例：若 f ( x ) 在 [ a , c ] , [ c , b ] 上一致连续，那么 f ( x ) 在 [ a , b ] 上也一致连续证明：只要考虑 x 1 ∈ [ a , c ] , x 2 ∈ [ c , b ] 的情况： ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ ∣ f ( x 1 ) − f ( c ) ∣ + ∣ f ( x 2 ) − f ( c ) ∣ , 得证若f(x)在[a,c],[c,b]上一致连续，那么f(x)在[a,b]上也一致连续\\证明：只要考虑x_1\in[a,c],x_2\in[c,b]的情况：\\|f(x_1)-f(x_2)|\leq|f(x_1)-f(c)|+|f(x_2)-f(c)|,得证若f(x)在[a,c],[c,b]上一致连续，那么f(x)在[a,b]上也一致连续证明：只要考虑x1∈[a,c],x2∈[c,b]的情况：∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(c)∣+∣f(x2)−f(c)∣,得证.
- 注意：此处使用的绝对值不等式之后还会多次使用。事实上，在证明与一致连续相关的结论时，这是一个很好的工具
例： f ( x ) 在有穷开区间 ( a , b ) 上一致连续，那么 f ( x ) 在 ( a , b ) 上有界 f(x)在有穷开区间(a,b)上一致连续，那么f(x)在(a,b)上有界 f(x)在有穷开区间(a,b)上一致连续，那么f(x)在(a,b)上有界

不想打字X2
- 注：这里采取分类讨论的思想，因为在闭区间上函数有界很好说明，
闭区间有限开覆盖定理：以及Cantor定理的互推（较繁琐）
定理：设 f ( x ) 在有穷开区间 ( a , b ) 上连续，则 f ( x ) 在 ( a , b ) 上一致连续的充要条件是 lim ⁡ x → a + f ( x ) 与 lim ⁡ x → b − f ( x ) 都存在设f(x)在有穷开区间(a,b)上连续，\\则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是\\\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)与\lim_{x\rightarrow b^-}f(x)都存在设f(x)在有穷开区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是limx→a+f(x)与limx→b−f(x)都存在.
- 如果将有穷区间改为无穷区间，那么必要性不再成立，但是充分性依然成立。
最后介绍一个非常有用的证函数在某区间一致连续的方法：

函数在某个区间内一致连续的充分条件是在区间内其导数有界。

证明：
由拉格朗日中值定理，有：
f ( x 1 ) − f ( x 2 ) = f ′ ( ξ ) ( x 1 − x 2 ) ∴ ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ ∣ M ( x 1 − x 2 ) , f 在区间上莱普西斯连续， ⟹ f 在区间上一致连续 f(x_1)-f(x_2)=f'(\xi) (x_1-x_2)\newline \therefore |f(x_1)-f(x_2)|\leq |M (x_1-x_2),f在区间上莱普西斯连续，\newline \implies f 在区间上一致连续 f(x1)−f(x2)=f′(ξ)(x1−x2)∴∣f(x1)−f(x2)∣≤∣M(x1−x2),f在区间上莱普西斯连续，⟹f在区间上一致连续

这个定理在证明函数一致连续的方便之处在于：对于一个函数，观察其导数有界与否是简单的，但是按照原定义证明一致连续往往比较复杂。
例题：证： f ( x ) = 1 x sin ⁡ 1 x 在 [ 1 , + ∞ ] 一致连续 f ′ ( x ) = − 1 x cos ⁡ 1 x − sin ⁡ 1 x x 2 ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ ∣ 1 x 3 + 1 x 2 ∣ ≤ 2 , 即 f ′ ( x ) 有界，得证 . 证：f(x)=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}在[1,+\infty]一致连续\newline f'(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}-\sin\frac{1}{x}}{x^2}\newline |f'(x)|\leq |\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}|\leq 2,即f'(x)有界，得证. 证：f(x)=x1sinx1在[1,+∞]一致连续f′(x)=x2−x1cosx1−sinx1∣f′(x)∣≤∣x31+x21∣≤2,即f′(x)有界，得证.

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