自然数集的构建

Peano公理

三元组(A,x,f)，满足下面的条件，称其为戴德金−皮亚诺结构：三元组(A,x,f)，满足下面的条件，称其为戴德金-皮亚诺结构：三元组(A,x,f)，满足下面的条件，称其为戴德金−皮亚诺结构：
1）A是一个集合，x∈N，f:A→A1）A是一个集合，x∈N，f:A\rightarrow A1）A是一个集合，x∈N，f:A→A
2）x∉f(A)2）x∉f(A)2）x∈/f(A)
3）f为单射3）f为单射3）f为单射
4）设B⊂A，如果B满足4）设B⊂A，如果B满足4）设B⊂A，如果B满足
1。x∈B~~~~~~~1。~x∈B 1。 x∈B
2。k∈B⇒f(k)∈B那么有B=A~~~~~~~2。~k∈B~~\Rightarrow~~f(k)\in B ~~~~~那么有B=A 2。 k∈B ⇒ f(k)∈B 那么有B=A
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我们取x=0，f(x)为x的后继数，那么集合A就等同于自然数集N我们取x=0，f(x)为x的后继数，那么集合A就等同于自然数集N我们取x=0，f(x)为x的后继数，那么集合A就等同于自然数集N
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根据Peano公理抽象出自然数集N的特性

1、非空

由公理条件1)，有集合N中必定存在x，故集合N非空~~~~~~由公理条件1)，有集合N中必定存在x，故集合N非空由公理条件1)，有集合N中必定存在x，故集合N非空
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2、链表

由公理条件4)，对于任意的k∈B，都有f(k)属于B，那么自然数集构成了一个链表，~~~~~~由公理条件4)，对于任意的k∈B，都有f(k)属于B，那么自然数集构成了一个链表，由公理条件4)，对于任意的k∈B，都有f(k)属于B，那么自然数集构成了一个链表，
每一个元素都有后继元素~~~~~~每一个元素都有后继元素每一个元素都有后继元素
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3、无环

链表有环有两种情况，初始元素x在环中，初始元素x不在环中，~~~~~~链表有环有两种情况，初始元素x在环中，初始元素x不在环中，      链表有环有两种情况，初始元素x在环中，初始元素x不在环中，
1.如果x在环中，那么x必定是某个元素y的后继，这与公理条件2)矛盾~~~~~~1.~如果x在环中，那么x必定是某个元素y的后继，这与公理条件2)矛盾      1. 如果x在环中，那么x必定是某个元素y的后继，这与公理条件2)矛盾
2.如果x不在环中，那么环中必定有一个元素y，它既是初始元素x的后代，也是环中~~~~~~2.~如果x不在环中，那么环中必定有一个元素y，它既是初始元素x的后代，也是环中      2. 如果x不在环中，那么环中必定有一个元素y，它既是初始元素x的后代，也是环中
元素的后继，那么有至少2个元素的后继为y，与条件3)矛盾~~~~~~~~~~元素的后继，那么有至少2个元素的后继为y，与条件3)矛盾          元素的后继，那么有至少2个元素的后继为y，与条件3)矛盾
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4、无限

如果有限，假设共有N个元素，~~~~~~如果有限，假设共有N个元素，      如果有限，假设共有N个元素，
由于初始元素不为任意函数的后继，那么能成为后继元素的元素有N−1个~~~~~~由于初始元素不为任意函数的后继，那么能成为后继元素的元素有N-1个      由于初始元素不为任意函数的后继，那么能成为后继元素的元素有N−1个
由于每个元素都有一个后继，那么N个元素共有N个后继元素~~~~~~由于每个元素都有一个后继，那么N个元素共有N个后继元素      由于每个元素都有一个后继，那么N个元素共有N个后继元素
由鸽巢原理，那么必定有一个元素，是两个元素的后继结点，矛盾~~~~~~由鸽巢原理，那么必定有一个元素，是两个元素的后继结点，矛盾      由鸽巢原理，那么必定有一个元素，是两个元素的后继结点，矛盾
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