无穷集合的大小比较

对于有穷集合，可以数集合中元素的个数，然后比较大小，对于无穷集合的大小比较这种方法就不能用了，需要找到元素之间的一一对应关系。
其实对于有穷集合的数个数比较，本质上也是相当于将集合中每一个元素与每一个自然数一一对应的。
所以一一对应关系是要比数数更为本质的关系。

实数连续区间的等价性

对于（a,b）这样一个实数区间，其可以通过线性放缩到区间（c,d）区间中，而其亦可以放缩到整个实数区间中，比如用tan函数，就可以将(−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})放缩到整个实数区间。
其实这里也可以看出函数与集合之间的一些对应关系。

原命题的证明

所以要证明实数集合是要大于自然数集合的，只需要证明（0,1）区间的实数是大于自然数的就好
证明方法如下（取百度百科上的证明例子）：
1. 假设实数集合和自然数集合是一样大的
2. 那么必然存在一个自然数集合和实数集合的一一对应关系，所以就可以将实数列出（这个时候是不用考虑大小顺序的，因为是一一对应关系，所以只用列出就好）
r1r_1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0
r2r_2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3
r3r_3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6
r4r_4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6
3. 取第一个自然数的小数表示的第一位，第二个自然数的小数表示的第二位，…，
r1r_1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0
r2r_2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3
r3r_3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6
r4r_4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6
4. 这个时候就构造出一个新的数 rkr_k = 0.5140…
5. 将rkr_k上每一位都+1，如果是9的话就变为0就好，得到新的数 rkr_k = 0.6251…
6. 可以得到rkr_k 在原数列上是不存在的，怎么证明呢？继续再用反证法。假设rkr_k存在，其排在第t个数，那么而根据rkr_k产生的规则，意味着原来第t个数的第t位也参与到了rkr_k的构成中，假设而原来第t个数第t位为m，那么rkr_k这个数的第t位为m+1，则其必然与第t个数不相等。所以可以得到rkr_k 在原数列上是不存在的
7. 这样我们就能构造出原数列中不存在的一个实数，反证成功

【百度百科上用了另外一种证法，其实是一样的】

之前没理解证明的点在于第6点，后来看了看别的资料，就明白了

所以就得到了最终的结论实数集合是要大于自然数集合的

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