MATLAB教程七：MATLAB符号计算

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7.1 符号对象
7.2 符号微积分
7.3 级数
7.4 符号方程求解

7.1 符号对象

符号对象的建立：

sym函数：用于建立单个符号对象，其常用调用格式为：

符号对象名=sym(A)

将由 A 来建立符号对象。其中，A 可以是一个数值常量、数值矩阵或数值表达式（不加单引号），此时符号对象为一个符号常量；A也可以是一个变量名（加单引号），这时符号对象为一个符号变量。

>> t=sym(2);
>> t+1/2
ans=5/2
>> sin(sym(pi/3))
ans =3^(1/2)/2
>> sin(pi/3)
ans =0.8660

syms命令：可以一次定义多个符号变量，其一般调用格式如下：

syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

其中，变量名不能加单引号，相互之间用空格隔开。

符号对象的运算：

四则运算：符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^ 运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。

>> syms x;
>> f=2*x^2+3*x-5;
>> g=x^2-x+7;
>> f+g
ans =3*x^2 + 2*x + 2

关系运算：

6种关系运算符：<、<=、>、>=、==、～=。

对应的6个函数：lt()、le()、gt()、ge()、eq()、ne()。

逻辑运算：

3种逻辑运算符：&（与）、|（或）和～（非）。

4个逻辑运算函数：and(a,b)、or(a,b)、not(a)和xor(a,b)。

>> syms x;
>> y=and(x>0,x<10)
y=0<x & x<10

因式分解与展开运算：

factor(s)：对符号表达式s分解因式，也可以对数进行分解质因子。

expand(s)：对符号表达式s进行展开。

collect(s)：对符号表达式s合并同类项。

collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。

>> syms a b;
>> s=a^3-b^3;
>> factor(s)
ans=[ a-b, a^2 + a*b + b^2]
>> factor(12)
ans=
2 2 3>> syms x;
>> y=(x+2)^3;
>> expand(y)
ans =x^3 + 6*x^2 + 12*x + 8

其他运算：

[n,d]=numden(s)：提取有理分式的分子分母。

c=coeffs(s,x)：提取符号表达式的系数。

simplify(s)：符号表达式化简。

p=sym2poly(s)：符号多项式转换为多项式系数向量。

s=poly2sym§：多项式系数向量转换为符号多项式。

例：求方程ax2+bx+c=0的根。

>> syms a b c x;
>> f=a*x^2+b*x+c
f =
a*x^2 + b*x + c
>> g=coeffs(f,x)
g =
[c, b, a]
>> g=g(end:-1:1)
g =
[a, b, c]
>> roots(g)
ans =-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

符号矩阵：

符号矩阵：也是一种符号表达式，所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。

注意：这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。

例：建立符号矩阵并化简

>> syms a b x y alp;
>> m=[a^3-b^3,sin(alp)^2+cos(alp)^2;(15*x*y-3*x^2)/(x-5*y),78]
m =[                   a^3 - b^3, cos(alp)^2 + sin(alp)^2][(- 3*x^2 + 15*y*x)/(x - 5*y),                      78]
>> simplify(m)
ans =[a^3 - b^3,  1][     -3*x, 78]

7.2 符号微积分

符号函数的极限：

limit(f,x,a)：求符号函数极限的命令为 limit，即求函数 f 关于变量 x 在 a 点的极限。

limit(f,x,a,‘right’) ：求函数 f 关于变量 x 在 a 点的左极限。

limit(f,x,a,‘left’)：求函数 f 关于变量x 在 a 点的右极限。

例：求下列极限
( 1 ) lim ⁡ x → a x m − a m x − a ( 2 ) lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n (1)\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a}}{x-a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n (1)x→alimx−amx −ma (2)n→∞lim(1+n1)n

>> syms a m x n;
>> f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
>> limit(f,x,a)
ans =a^(1/m - 1)/m>> g=(1+1/n)^n;
>> limit(g,n,inf)
ans =exp(1)

符号函数的导数：

diff(f,x,n)：即求函数 f 关于变量 x 的 n 阶导数。参数 x 的用法同求极限函数 limit，可以缺省，默认值与 limit 相同，n 的默认值是1。

例：求下列函数的导数
( 1 ) y = 1 + e x , 求 y ’ ( 2 ) z = x e y y 2 , 求 z x ′ 、 z y ′ (1)y=\sqrt{1+e^x},求y’ \quad\quad\quad\quad\quad (2)z=\frac{xe^y}{y^2},求z_x'、z_y' (1)y=1+ex ,求y’(2)z=y2xey,求zx′、zy′

>> syms x y z;
>> f=sqrt(1+exp(x));
>> diff(f)
ans =exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2))>> g=x*exp(y)/y^2;
>> diff(g,x)
ans =exp(y)/y^2
>> diff(g,y)
ans =(x*exp(y))/y^2 - (2*x*exp(y))/y^3

符号函数的积分：

不定积分：

int(f,x)：求函数 f 对变量 x 的不定积分。

例：求下列不定积分
( 1 ) ∫ ( 3 − x 2 ) 3 d x ( 2 ) ∫ 5 x t 1 + x 2 d t (1)\int(3-x^2)^3dx \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (2)\int \frac{5xt}{1+x^2}dt (1)∫(3−x2)3dx(2)∫1+x25xtdt

>> syms x t;
>> f=(3-x^2)^3;
>> int(f)
ans = - x^7/7 + (9*x^5)/5 - 9*x^3 + 27*x
>> g=5*x*t/(1+x^2);
>> int(g,t)
ans = (5*t^2*x)/(2*(x^2 + 1))

定积分：

int(f,x,a,b)：求函数 f 对变量 x 的不定积分。其中，a、b分别表示定积分的下限和上限。

例：求下列定积分
( 1 ) ∫ 1 2 ∣ 1 − x ∣ d x ( 2 ) ∫ − ∞ + ∞ 1 1 + x 2 d x ( 3 ) ∫ 2 s i n x 4 x t d t (1)\int_1^2|1-x|dx \quad\quad\quad (2)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx \quad\quad\quad (3)\int_2^{sinx}\frac{4x}{t}dt (1)∫12∣1−x∣dx(2)∫−∞+∞1+x21dx(3)∫2sinxt4xdt

>> syms x t;
>> int(abs(1-x),1,2)
ans =1/2
>> int(1/(1+x^2),-inf,inf)
ans =pi
>> int(4*x/t,t,2,sin(x))
ans =4*x*(log(sin(x)) - log(2))

7.3 级数

级数求和：

symsum(s,v,n,m)：求无穷级数的和。其中，s 表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v 是求和变量，v 省略时使用系统的默认变量。n 和 m 是求和变量 v 的初值和末值。

例：求下列级数之和
S 1 = 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ + 10000 S 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 1 n + … S 3 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 1 2 n − 1 + … S_1=1+4+9+16+\dots+10000 \\ S_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+(-1)^{n+1}\frac{1}{n}+\dots \\ S_3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+(-1)^{n+1}\frac{1}{2n-1}+\dots S1=1+4+9+16+⋯+10000S2=1−21+31−41+⋯+(−1)n+1n1+…S3=1−31+51−71+⋯+(−1)n+12n−11+…

>> syms n;
>> S1=symsum(n^2,1,100)
S1 =338350
>> S2=symsum((-1)^(n-1)/n,1,inf)
S2 = log(2)
>> S3=symsum((-1)^(n-1)/(2*n-1),n,1,inf)
S3 =hypergeom([-1/2, 1], 1/2, -1) - 1          % 超几何函数

泰勒级数：

taylor(f,v,a,Name,Value)：将函数展开为幂级数。该函数将函数 f 按变量 v 在 a 点展开为泰勒级数，v 的默认值与 diff 函数相同，a 的默认值是 0。 Name 和Value 为选项设置，经常成对使用，前者为选项名，后者为该选项的值。

Name有3个可取字符串：

1、‘ExpansionPoint’：指定展开点，对应值可以是标量或向量。未设置时，展开点为0。

2、‘Order’：指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断参数为6，即展开式的最高阶为5。

3、‘OrderMode’：指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为 ‘Absolute’ 或’Relative’。未设置时取’Absolute’。

例：求函数 f 在 x=1 处的5阶泰勒级数展开式。
f ( x ) = 1 + x + x 2 1 − x + x 2 f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2} f(x)=1−x+x21+x+x2

>> syms x;
>> f=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);
>>taylor(f,x,1,'Order',6)
ans =2*(x - 1)^3 - 2*(x - 1)^2 - 2*(x - 1)^5 + 3
>> expand(ans)
ans = - 2*x^5 + 10*x^4 - 18*x^3 + 12*x^2 + 1

例：利用泰勒展开式计算三角函数的值。

>> syms x;
>> f=taylor(cos(x),x,pi)
f =(x - pi)^2/2 - (x - pi)^4/24 - 1
>> x=3;
>> eval(f)
ans =-0.9900
>> cos(3)
ans =-0.9900

7.4 符号方程求解

代数方程符号求解：

solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。

solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。

solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式 s1，s2，…，sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1， v2，…，vn。

例：解方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0

>> syms x y a b c;
>> solve(a*x^2+b*x+c==0)
ans =-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

常微分方程的符号求解：

dsolve(e,c,v)：用于求解常微分方程 e 在初值条件 c 下的特解。参数 v 是方程中的自变量，省略时按默认原则处理，若没有给出初值条件 c，则求方程的通解。

dsolve(e1,e2,…,en,c1,c2,…,cn,v)：用于求解常微分方程组 e1, e2, …, en 在初值条件 c1, c2, …, cn 下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解。v 给出求解变量，如果没有指定自变量，则采用默认自变量t。

注意：在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y’，D2y表示y’‘， Dy(0)=5表示y’(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y’‘’+y’‘+y’-x+5=0。

例：求下列微分方程或方程组的解。
d y d x = x 2 + y 2 2 x 2 { d x d t = 4 x − 2 y d y d t = 2 x − y \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2x^2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x-2y \\ \frac{dy}{dt}=2x-y \end{cases} dxdy=2x2x2+y2{dtdx=4x−2ydtdy=2x−y

>> syms x y t;
>> y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2',x)
y =x-x*(1/(C5 + log(x)/2) - 1)
>> [x,y]=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y',t)
x =C8/2 + 2*C7*exp(3*t)
y =C8 + C7*exp(3*t)

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