【数学】三角函数小题

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以下是一些废话不愿意看的可以跳过

最近守夜人更新得很慢，守夜人拖更主要有三个原因：

高考临近：更新频率与距高考天数呈正相关
考太差电脑被没收：概率与成绩呈负相关，一经触发则更新频率为0
灵感枯竭：不知道什么时候触发

守夜人的to-do list：

三角形内角间的三角函数关系、三角换元、比大小、齐次化、洛伦兹力、工业流程大题、有机大题、黄夫人笔记*inf、一数笔记*inf……

慢慢来吧。

任何 ω \bf\omega ω相关问题均转化为点/区间缩放问题

先来一道简单的小题来说明一下思想

♣ 例1 \clubsuit \textsf{例1} ♣例1 已知 ω > 0 \omega>0 ω>0 ，函数 f ( x ) = sin ⁡ ( ω x + π 4 ) f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4}) f(x)=sin(ωx+4π) 在 ( π 2 , π ) (\frac{\pi}{2},\pi) (2π,π) 上单调递减，求 ω \omega ω 的取值范围。

首先，我们知道 ω \omega ω 是一个控制三角函数图像伸缩的参数，

现在我们转化一下思想：将对函数的伸缩转化为区间的伸缩，问题即转化为：函数 f ( x ) = sin ⁡ ( x + π 4 ) f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4}) f(x)=sin(x+4π) 在 ( ω π 2 , ω π ) (\frac{\omega\pi}{2},\omega\pi) (2ωπ,ωπ) 上单调递减，求 ω \omega ω 的取值范围。

在这个区间伸缩时，一切操作与 ϕ \phi ϕ 无关，函数图像固定，这样去解决问题会比较清晰（至少对我来说）

第一步，初步确定 ω \omega ω 的范围：区间长度 ω π 2 ≤ T 4 = π 2 ⇒ ω ∈ ( 0 , 2 ] \frac{\omega\pi}{2} \leq \frac{T}{4}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \omega\in(0,2] 2ωπ≤4T=2π⇒ω∈(0,2]

第二部，开始伸缩：

初始状态：

ω = 0 ⇒ x ∈ ( 0 , 0 ) \omega=0\Rightarrow x\in (0,0) ω=0⇒x∈(0,0)

现在 ω \omega ω 增大，区间的左右端点同时向右移动，并且右端点一直是左端点的两倍：

ω = 1 2 ⇒ x ∈ ( π 4 , π 2 ) \omega=\frac{1}{2}\Rightarrow x\in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}) ω=21⇒x∈(4π,2π)

此时区间左端点在极大值点处，且满足题意

ω = 5 4 ⇒ x ∈ ( 5 π 8 , 5 π 4 ) \omega=\frac{5}{4}\Rightarrow x\in (\frac{5\pi}{8},\frac{5\pi}{4}) ω=45⇒x∈(85π,45π)

此时区间右端点在极小值点处，且满足题意

如果 ω \omega ω 再变大：

到下一个位置时区间长度要求已经超过了。

于是可知 ω ∈ [ 1 2 , 5 4 ] \omega \in [\frac{1}{2},\frac{5}{4}] ω∈[21,45] 。

可以去desmos上玩一玩这个图像

♣ 例2 \clubsuit \textsf{例2} ♣例2 已知 ω > 0 \omega>0 ω>0 ，函数 f ( x ) = sin ⁡ ( ω x − π 3 ) f(x)=\sin(\omega x-\frac{\pi}{3}) f(x)=sin(ωx−3π) 在 ( π 2 , 3 π 2 ) (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}) (2π,23π) 上没有零点，求 ω \omega ω 的取值范围。

转化为函数 f ( x ) = sin ⁡ ( x − π 3 ) f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{3}) f(x)=sin(x−3π) 在 ( ω π 2 , 3 ω π 2 ) (\frac{\omega\pi}{2},\frac{3\omega\pi}{2}) (2ωπ,23ωπ) 上没有零点，求 ω \omega ω 的取值范围。

第一步，初步确定 ω \omega ω 的范围：要求区间长度 ω π 2 ≤ T 2 = π ⇒ ω ∈ ( 0 , 1 ] \frac{\omega\pi}{2} \leq \frac{T}{2}=\pi\Rightarrow \omega\in(0,1] 2ωπ≤2T=π⇒ω∈(0,1]

图像：

开始伸缩：

右端点为零点， 3 ω π 2 = π 3 ⇒ ω = 2 9 \frac{3\omega\pi}{2}=\frac{\pi}{3}\Rightarrow \omega=\frac{2}{9} 23ωπ=3π⇒ω=92

左端点为零点， ω π 2 = π 3 ⇒ ω = 2 3 \frac{\omega\pi}{2}=\frac{\pi}{3}\Rightarrow \omega=\frac{2}{3} 2ωπ=3π⇒ω=32

右端点为零点， 3 ω π 2 = 4 π 3 ⇒ ω = 8 9 \frac{3\omega\pi}{2}=\frac{4\pi}{3}\Rightarrow \omega=\frac{8}{9} 23ωπ=34π⇒ω=98

所以 ω ∈ ( 0 , 2 9 ] ⋃ [ 2 3 , 8 9 ] \omega \in (0,\frac{2}{9}]\bigcup[\frac{2}{3},\frac{8}{9}] ω∈(0,92]⋃[32,98]

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