当写程序写的累了，不妨研究下算法，算法是万变不离其宗的宗，掌握了算法的精髓，可以不变应万变。如果能将算法的思想应用在自己的工程当中，解决问题的规模和效率，都将直线上升，这也正是工程师的价值所在。今天分享下最近学习到的分治思想。

当我们遇到难题时，不妨想一想分治思想。分治就是分而治之。将原问题划分成多个规模较小，并且与原问题相似的子问题，子问题还可以再进行分解成子问题，分解到子问题可以直接求解时，再逐步向上归并，最终得到原问题的解。

学习算法最好的方式是编码来解决一个问题，这里给出一个问题：如何高效地求解一组数据的有序度？

有序度代表一组数据有序的程度，就是序列中有序对的个数，相对应的为逆序度。

比如，输入 2，4，3，1，5，6，输出的有序度为 11。

最简单的方法就是循环，每次循环都在剩余元素中找比当前元素大的数据，记为 k，最后对 k 求和，不过这样做的时间复杂度是 O(N^2)，在数据量不大的情况下，使用简单的算法往往比较好用。简单意味着不易出错。当数据量大时，就要追求更快的方法。

求解一组数据的有序度，其实还可以采用分治的思想，时间复杂度为 O(nlogn)。

思路如下：数组 A 直接求不容易，那就对它进行分解成 B 和 C，如果 B 的有序度为 k1，C 的有序度为 k2，B 和 C 之间的有序度为 k3，那么数组 A 的有序度就是 k1 + k2 + k3。

如果元素较多，仍然可继续分解。直到 B 和 C 分别只有一个元素，比如 B 是 [2],C 是 [4],此时 B 和 C 自身不存在有序度，由于 B 中的元素比 C[0] 小的个数是 1 ，因此 B 和 C 之间的有序度是 1，即 k1 = 0，k2 = 0，k3 = 1。

继续归并，B=[2,4] C=[3,1]，此时可求得 k1 = 1，k2 = 0，k3 = 1，k3 就代表 B 中元素小于 C 中元素的个数的和。

继续归并，此时特别近似于归并排序算法，对 B 和 C 分别排序后可以更快的求出 k3，这里我们已经了解到排序的本质：排序是增加有序度，降低逆序度的过程。求解有序度和逆序度，对于选择排序算法很有帮助。

如果你觉得上述文字描述不太容易理解，那么从代码中理解也是一种很好的方式，下面自己实现求有序度、逆序度，并打印出有序对和逆序对的代码。

# -*- coding: utf-8 -*-
# !/usr/local/bin/python
# Time: 10/31/2019 9:44:19 PM
# Description:
# File Name: get_degree_of_order.py

yxd, nxd =  0,  0
yxd_pair ,nxd_pair = [],[]

def get_yxd_nxd(array):
     global yxd,nxd
    yxd, nxd =  0,  0
    mergSortCounting(array[:], 0,len(array) -1) 
    print( f"原始数组{array} \n有序度为{yxd} : {yxd_pair}\n逆序度为{nxd} : {nxd_pair}")
     return yxd,nxd

def mergSortCounting(array,low,high):
     if low >= high:
         return
    middle = (low + high)// 2
    mergSortCounting(array,low,middle)
    mergSortCounting(array,middle+ 1,high)
    merge(array,low,middle,high)

def merge(array,low,middle,high):
     global yxd,nxd,yxd_pair,nxd_pair
    array1 = array[low:middle+ 1]
    len_array1 = len(array1)
    array2 = array[middle+ 1:high+ 1]
    len_array2 = len(array2)
    i,i1,i2 = low, 0, 0

while i1 < len_array1  and i2 < len_array2:
         if array1[i1] <= array2[i2]:
            array[i] = array1[i1]

#在array2中找到比array1[i1]大的数据个数，并累加
            yxd += len_array2 - i2

##增加对有序对的记录，方便理解。
             for x  in range(i2,len_array2):
                yxd_pair.append((array1[i1],array2[x]))

i +=  1
            i1 +=  1

else:
            array[i] = array2[i2]

#在array1中找到比 array2[i2] 大的个数，并累加
            nxd += len_array1 - i1

##增加对逆序对的记录，方便理解。
             for x  in range(i1,len_array1):
                nxd_pair.append((array1[x],array2[i2]))

i +=  1
            i2 +=  1

while i1 < len_array1:
        array[i] = array1[i1]
        i +=  1
        i1 +=  1

while i2 < len_array2:
        array[i] = array2[i2]
        i +=  1
        i2 +=  1

if __name__ ==  "__main__":
    array_list = [ 2, 4, 3, 1, 5, 6]
    get_yxd_nxd(array_list)

执行结果如下：

原始数组 [2, 4, 3, 1, 5, 6]
有序度为11 :  [(2, 4), (2, 3), (1, 5), (1, 6), (5, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)]
逆序度为4 :  [(4, 3), (2, 1), (3, 1), (4, 1)]

关于分治算法还有不少可以练手的题目，比如找出二维平面上 n 个点中距离最近的两个点。

1、MapReduce

MapReduce 实际上是一种编程模型，主要是用于处理大规模数据集，其实现核心逻辑实际上是跟分治方法是统一的。在这个编程模型下，用户只需要关心两个函数，一个是 map 函数，用于处理一个键值对，然后生成一个中间键值对的数据集合。另一个是 reduce 函数，是用来将 map 产生的中间键值对数据集根据相同中间键来进行合并操作。这种编程模型自然而然的是可以通过在一个集群上进行并行的处理。整个系统需要做的是划分输入数据、调度作业任务与机器、处理机器故障以及管理机器间的通信等等，

map( String key,  String value):
     //key: document name
     //string: document contents
     for each word w  in value :
        EmitIntermediate(w,  "1");

reduce( String key,  Iterator values):
     //key : a word
     //values : a list of counts
     for each v  in values:
        result += ParseInt(v);
    Emit(AsString(result));

这个 map 函数会将每个 word 都填上一个 1 的词频数发射出去，然后 reduce 函数将同一个 word 发射出来的数目加起来。分治的思想就是这么简单有效。

大部分编程语言也提供了类似的 map 和 reduce 函数，强烈推荐这类高阶函数，因为它们的效率非常高，比如 Python 中的函数使用方法如下：

>>>  from functools  import reduce
>>>  def pow(x):
...      return x*x
...
>>>  def add(x,y):
...      return x+y
...
>>>
>>> data = [ 1, 4, 7]
>>>
>>> list(map(pow,data))
[ 1,  16,  49]
>>> reduce(add,data)
12

2、处理海量数据。

假如内存只有 4GB ，如何给 10GB 的订单排序呢？我们可以先逐行扫描一遍订单，根据订单金额将 10GB 文件划分多个金额区间，比如将 1 - 100 元的放在文件 1 ， 100 - 200 元的放在文件 2 ，依次类推，每个小文件都可以单独加载到内存中排序，最后将这些小文件合并，就是有序的 10GB 订单数据了。

3、归并排序、桶排序、快速排序也都使用了分治算法的思想。

4、复杂的工程项目分多个文件，多个模块，也是一种分治思想。

1、人口普查。
2、小到公司管理、大到国家管理。
3、美国大选。
4、团队目标实现。leader:设置一个团队的整体目标， module owner:分取整体目标的一个模块。developer:分取模块里面一个任务。整体目标 = 模块任务 A + 模块任务 B ，模块任务 A  = 个人任务 A  + 个人任务 B  + 个人任务 C ，最后达到整个任务。

…

借用王争老师的话做为结尾：创新并非离我们很远，创新的源泉来自对事物本质的认识。无数优秀架构设计的思想来源都是基础的数据结构和算法，这本身就是算法的一个魅力所在。

（完）