典型例题解析例1设向量问取何值时可由线性表示且表示

典型例题解析

例1 设向量。

问取何值时 ：

(1)可由线性表示，且表示惟一。

(2) 可由线性表示，但表示不惟一

(3)不可由线性表示。

解 本题是利用方程组解的理论解决向量线性关系的问题，设有数使

将，代入，并比较两端对应分量得以为未知量的非齐次线性方程组，为

即

其系数行列式为

当且时，方程组有惟一解，故可由线性表示，且表示惟一。

当时，，方程组有无穷多解，可由线性表示，但表示不惟一。

当时，，方程组无解，故不可由线性表示。

例2 :对方程组

(1) 为何值时,方程组有解;

(2) 方程组有解时,求导出组的基础解系;

(3) 方程组有解时,求其通解.

解 对方程组的增广距阵作初等行变换；

故 (1) 当且即时4,方程组有解且有无穷多解

(2) 与导出组同解的方程为

易得导出组的基础解系为：

(3) 当时,原非齐次方程组同解的方程组为

令得非齐次方程组的特解：

故原方程组的通解

++

例3 求一个齐次线性方程，使它的基础解系为

解 设所求齐次线性方程为。

因 是4维的，故方程有4个未知元，即矩阵的列数等于4。另一方面，因基础解系含2个向量，故= 4 – 2 = 2，因此方程的个数可以是任意 个，这我们只须构造一个满足题设要求而行数最小距阵，也即是2 4距阵，且=2。 是的基础解系

, 且=2(因 线性无关)

，且=2 , 这里,( )

且

的两个列向量是方程组的解(向量)，且线性无关

的两个列向量是方程组的一个基础解系，(因 )

具体计算如下：

～

取基础解系为：

，

故可取为：

对应方程组为：

注：由上面的分析知道，所求的方程组是不唯一的。若都是以

为基础解系，则是同解的，因而之秩都为2，若是同型矩阵时，则可以经一个初等变换变为。

例 4 设有四元齐次线性方程组

I：

又，已知某四元齐次线性方程组 的基础解系为：

，

求：(1)方程组Ｉ的基础解系；(2)问方程组Ｉ与II是否有非零公共解？ 若有，求出全部非零公共解；若没有，则说明理由。

解 (1)对方程组 I 的系数距阵进行距阵的初等行变换：

～

得到它的行蕞简行，从而可知它的秩是2，取基础解系为：

，

于是方程组I的通解为：

有兴趣的是问题(2)的解答，我们用三种方法：

(2)方法1 方程组 II 的通解可写为：

然后代如方程组 I ，得到：

于是它们非零解：

x= , (任意常数)

方法2：从两方程组的通解表达式着手。

方程组I的通解x=

方程组II的通解 x=

寻找两方程组的公共解就是寻找适当的数使得把它们分别入述两方程通解表达式后得到的是同一个向量，即应满足：

=

即 得

于是它们非零解： x= , (任意常数)

方法3：线性方两程组的公共解就是同时满足两线性方程组的解，如果给出线性方程组I和II的表达式，则可以将它们联立求成过解。为此，先求一个齐次线性方两程组，其基础解系为。用我们前面例介绍的方法，(具体如下)

～

取对应齐次方程组基础解系： ，

于是所求得方程：

其通解为：

于是方程组I和方程组II的公共解应满足

易得通解 x=

于是所求非零公共解为 ，

例5 已知四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,又是它的三个解向量,其中

试求的通解.

解 关键是找出对应齐次方程组基础解系和非齐次线性方程组的一个特解,这可由方程组的性质得到.由于四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,故的基础解系含4-3=1个解向量.由解的性质知

是的非零解向量,可以当作基础解系.又

是的特解，故通解为，

例6 设元非齐次线性方程组,是其个线性无关的解向量,证明:

(1) 是的一个基础解系;

(2)的任一解可表为，其中

证 (1) 由于是的解向量,所以是的解向量.又所以的基础解系中含有个线性无关的解向量。因此，只要证明线性无关即可。

设有个常数，使得，即。由于线性无关，所以，从而证得是线性无关的。

(2)由(1)知，的通解可表为

，

其中是任意常数。