正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2179

题目大意

给出EEE和nnn个si,ki,uis_i,k_i,u_isi,ki,ui求一个序列viv_ivi满足
∑i=1nkisi(vi−ui)2≤E\sum_{i=1}^nk_is_i(v_i-u_i)^2\leq Ei=1∑nkisi(vi−ui)2≤E
的情况下最小化
∑i=1nsivi\sum_{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}i=1∑nvisi

1≤n≤1041\leq n\leq 10^41≤n≤104

解题思路

洛谷题解上一个十分神奇的做法看起来。（主要是看不懂拉格朗日乘数法/kk）

首先考虑对于段路的行驶时间ti=sivit_i=\frac{s_i}{v_i}ti=visi，我们可以画出消耗的能量EEE和tit_iti的函数。

对于函数f(E)=tif(E)=t_if(E)=ti不难发现的是在vi≥uiv_i\geq u_ivi≥ui的情况下EEE越小这个函数对应位置的导数越小。

也就是消耗单位能量减少的时间也就越少，性价比就越低。而我们现在要给每段路分配一个tit_iti使得消耗能量和等于EEE且tit_iti和最小的话。

根据贪心的思想有选出若干个的tit_iti满足对应位置的导数相等。

那么我们就找到了所有路的共性，考虑二分这个导数，但是我们先对这个函数f(v)=tEf(v)=\frac{t}{E}f(v)=Et求个导。

t′=−svi2,E′=2kisi(vi−ui)t'=-\frac{s}{v_i^2},E'=2k_is_i(v_i-u_i)t′=−vi2s,E′=2kisi(vi−ui)
f′(v)=t′E′=−s2kisivi2(vi−ui)f'(v)=\frac{t'}{E'}=-\frac{s}{2k_is_iv_i^2(v_i-u_i)}f′(v)=E′t′=−2kisivi2(vi−ui)s

然后我们二分出f′(vi)=xf'(v_i)=xf′(vi)=x然后再二分出对应的速度viv_ivi就好了。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n;double E,s[N],k[N],v[N];
double getv(double x,int p){double l=max(v[p],0.0),r=100000;for(int i=1;i<=100;i++){double V=(l+r)/2.0;if(-2.0*k[p]*V*V*x*(V-v[p])<1.0)l=V;else r=V;}return (l+r)/2.0;
}
double check(double x){double E=0;for(int i=1;i<=n;i++){double V=getv(x,i);E+=k[i]*s[i]*(V-v[i])*(V-v[i]);}return E;
}
int main()
{scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);double l=-1e5,r=0;for(int i=1;i<=100;i++){double mid=(l+r)/2.0;if(check(mid)<=E)l=mid;else r=mid;}double mid=(l+r)/2.0,ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=s[i]/getv(mid,i);printf("%.12lf\n",ans);return 0;
}

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