7.4 倒向随机微分方程-Feynman-Kac公式

随机微分方程与抛物线型或椭圆型的二阶偏微分方程之间存在着内在的关系。这是非常自然的，因为从物理学的角度来看，随机微分方程和这两种偏微分方程描述了现实世界中一种或另一种“扩散”类型的现象。

这种关系在Ch5（动态规划）的最优随机控制的背景下得到广泛的研究。
本节使用SDEs和BSDEs的解来表示一些二阶抛物线和椭圆偏微分方程的解，被称为费曼-卡茨型公式。

前情提要

通过SDE表示PDE的粘性解
通过BSDE表示PDE的粘性解

4.1 通过SDE表示PDE的粘性解

二阶线性抛物PDE

线性抛物PDE-终值问题（Cauchy问题）
线性抛物PDE-终值边值问题

椭圆PDE

线性的椭圆PDE-边值问题
非线性的椭圆PDE-终值边值问题

4.1.1 二阶线性抛物PDE

考虑初\边值问题(1)
{ut+Lu=fin UTu=0on ∂U×[0,T]u=gon U×{t=0}\left\{\begin{aligned} u_{t}+L u=f & \text { in } U_{T} \\ u=0 & \text { on } \partial U \times[0, T] \\ u=g & \text { on } U \times\{t=0\} \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧ut+Lu=fu=0u=g in UT on ∂U×[0,T] on U×{t=0}
其中，f:UT→Rf: U_{T} \rightarrow \mathbb{R}f:UT→R和g:U→Rg: U \rightarrow \mathbb{R}g:U→R给定, 以及u:UˉT→Ru: \bar{U}_{T} \rightarrow \mathbb{R}u:UˉT→R未知, u=u(x,t)u=u(x, t)u=u(x,t). LLL表示任意时间ttt的二阶偏微分算子, 有以下发散形式(2)
Lu=−∑i,j=1n(aij(x,t)uxi)xj+∑i=1nbi(x,t)uxi+c(x,t)uL u=-\sum_{i, j=1}^{n}\left(a^{i j}(x, t) u_{x_{i}}\right)_{x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x, t) u_{x_{i}}+c(x, t) uLu=−i,j=1∑n(aij(x,t)uxi)xj+i=1∑nbi(x,t)uxi+c(x,t)u
或者非发散形式(3)
Lu=−∑i,j=1naij(x,t)uxixj+∑i=1nbi(x,t)uxi+c(x,t)uL u=-\sum_{i, j=1}^{n} a^{i j}(x, t) u_{x_{i} x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x, t) u_{x_{i}}+c(x, t) uLu=−i,j=1∑naij(x,t)uxixj+i=1∑nbi(x,t)uxi+c(x,t)u
对于给定的系数aij,bi,c(i,j=1,…,n)a^{i j}, b^{i}, c(i, j=1, \ldots, n)aij,bi,c(i,j=1,…,n).

线性抛物PDE的定义

考虑以下线性抛物PDE的Cauchy问题(4.1) :
{vt+∑i,j=1naij(t,x)vxixj+∑i=1nbi(t,x)vxi+c(t,x)v+h(t,x)=0(t,x)∈[0,T)×Rn,\left\{\begin{array}{c}v_{t}+\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}(t, x) v_{x_{i} x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}(t, x) v_{x_{i}}+c(t, x) v+h(t, x)=0 \\ (t, x) \in[0, T) \times \mathbb{R}^{n},\end{array}\right.{vt+∑i,j=1naij(t,x)vxixj+∑i=1nbi(t,x)vxi+c(t,x)v+h(t,x)=0(t,x)∈[0,T)×Rn,
其中aij,bi,c,h:[0,T]×Rn→Ra_{i j}, b_{i}, c, h:[0, T] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}aij,bi,c,h:[0,T]×Rn→R和$g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} 。设。设。设b(t, x)=\left(b_{1}(t, x), \ldots, b_{n}(t, x)\right)^{\top}。假设对某。假设对某。假设对某m存在一个存在一个存在一个\sigma: [0, T] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times m}$使得(4.2)
a(t,x)≡(aij(t,x))=12σ(t,x)σ(t,x)⊤,∀(t,x)∈[0,T]×Rna(t, x) \equiv\left(a_{i j}(t, x)\right)=\frac{1}{2} \sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top},\forall(t, x) \in[0, T] \times \mathbb{R}^{n}a(t,x)≡(aij(t,x))=21σ(t,x)σ(t,x)⊤,∀(t,x)∈[0,T]×Rn
则(4.1)可以写为以下形式(4.3):
{vt+12tr⁡{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+c(t,x)v+h(t,x)=0,(t,x)∈[0,T)×Rn,v∣t=T=g(x),\left\{\begin{array}{l}v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+c(t, x) v+h(t, x)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times \mathbb{R}^{n}, \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x),\end{array}\right. ⎩⎨⎧vt+21tr{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+c(t,x)v+h(t,x)=0,(t,x)∈[0,T)×Rn,v∣t=T=g(x),

假设条件

需要注意的是，（aij(t,x)a_{ij}(t,x)aij(t,x)）可能会退化。因此，一般来说，（4.3）可能没有经典的解。然而，我们有以下结果，这是经典的费曼-卡克公式的一个推广版本。

费曼-卡克公式

注意，在经典的费曼-Kac公式中，方程（4.3）是非退化的，函数h只需要满足一个较弱的条件(见Karatzas-Shreve)。此外，第五章定理3.3也给出了定理4.1的确定性版本。

随机微分方程-与偏微分方程的关联

考虑抛物方程的终值-边值问题(4.8):
{vt+12tr⁡{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+c(t,x)v+h(t,x)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣∂G=ψ(t,x),v∣t=T=g(x),\left\{\begin{array}{l}v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+c(t, x) v+h(t, x)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times G, \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(t, x), \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x),\end{array}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧vt+21tr{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+c(t,x)v+h(t,x)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣∂G=ψ(t,x),v∣t=T=g(x),
其中G⊆RnG \subseteq \mathbb{R}^{n}G⊆Rn是有C1C^{1}C1边界∂G\partial G∂G的有界区域。定义(4.9)
Ψ(t,x)={g(x),(t,x)∈{T}×Gˉψ(t,x),(t,x)∈[0,T)×∂G\Psi(t, x)=\left\{\begin{array}{lc}g(x), & (t, x) \in\{T\} \times \bar{G} \\ \psi(t, x), & (t, x) \in[0, T) \times \partial G\end{array}\right. Ψ(t,x)={g(x),ψ(t,x),(t,x)∈{T}×Gˉ(t,x)∈[0,T)×∂G

费曼-卡克公式

4.1.2 椭圆PDE

考虑边值问题
{Lu=fin Uu=0on ∂U\left\{\begin{aligned} L u=f & \text { in } U \\ u=0 & \text { on } \partial U \end{aligned}\right. {Lu=fu=0 in U on ∂U
其中UUU是Rn\mathbb{R}^{n}Rn的有界开集，以及u:Uˉ→Ru: \bar{U} \rightarrow \mathbb{R}u:Uˉ→R未知, u=u(x)u=u(x)u=u(x). f:U→Rf: U \rightarrow \mathbb{R}f:U→R给定, LLL表示二阶偏微分算子(2)
Lu=−∑i,j=1n(aij(x)uxi)xj+∑i=1nbi(x)uxi+c(x)uL u=-\sum_{i, j=1}^{n}\left(a^{i j}(x) u_{x_{i}}\right)_{x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x) u_{x_{i}}+c(x) u Lu=−i,j=1∑n(aij(x)uxi)xj+i=1∑nbi(x)uxi+c(x)u
或者(3)
Lu=−∑i,j=1naij(x)uxixj+∑i=1nbi(x)uxi+c(x)uL u=-\sum_{i, j=1}^{n} a^{i j}(x) u_{x_{i} x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} b^{i}(x) u_{x_{i}}+c(x) uLu=−i,j=1∑naij(x)uxixj+i=1∑nbi(x)uxi+c(x)u
对于给定的系数函数aij,bi,c(i,j=1,…,n)a^{i j}, b^{i}, c(i, j=1, \ldots, n)aij,bi,c(i,j=1,…,n)

椭圆PDE的定义

现在，让我们说明椭圆偏微分方程的结果。我们将考虑以下边值问题(4.12)：
{12tr⁡{σ(x)σ(x)⊤vxx}+⟨b(x),vx⟩+c(x)v+h(x)=0,x∈Gv∣∂G=ψ(x)\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(x) \sigma(x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(x), v_{x}\right\rangle+c(x) v+h(x)=0, \quad x \in G \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(x)\end{array}\right.{21tr{σ(x)σ(x)⊤vxx}+⟨b(x),vx⟩+c(x)v+h(x)=0,x∈Gv∣∂G=ψ(x)
其中，G⊆RnG \subseteq \mathbb{R}^{n}G⊆Rn是有C1C^{1}C1边界∂G\partial G∂G的有界区域。

费曼-卡克公式

考虑以下非线性椭圆PDE(4.18):
{vt+F(t,x,v,vx,vxx)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣∂G=ψ(t,x)v∣t=T=g(x)\left\{\begin{array}{l}v_{t}+F\left(t, x, v, v_{x}, v_{x x}\right)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times G, \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(t, x) \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x)\end{array}\right.⎩⎨⎧vt+F(t,x,v,vx,vxx)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣∂G=ψ(t,x)v∣t=T=g(x)
其中G⊆RnG \subseteq \mathbb{R}^{n}G⊆Rn是有C1C^{1}C1边界∂G,F:[0,T]×\partial G, F:[0, T] \times∂G,F:[0,T]× G×R×Rn×Sn→RG \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \times \mathcal{S}^{n} \rightarrow \mathbb{R}G×R×Rn×Sn→R的有界区域, 并且ψ\psiψ和ggg和之前一致。假设FFF可表示为(4.19):
F(t,x,v,p,P)=inf⁡u∈U{12tr⁡{σ(t,x,u)σ(t,x,u)⊤P}+⟨b(t,x,u),p⟩+c(t,x,u)v+h(t,x,u)}(t,x,v,p,P)∈[0,T]×G×R×Rn×Sn\begin{array}{r} F(t, x, v, p, P)=\inf _{u \in U}\left\{\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x, u) \sigma(t, x, u)^{\top} P\right\}\right. \\ \quad+\langle b(t, x, u), p\rangle+c(t, x, u) v+h(t, x, u)\} \\ (t, x, v, p, P) \in[0, T] \times G \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \times \mathcal{S}^{n} \end{array}F(t,x,v,p,P)=infu∈U{21tr{σ(t,x,u)σ(t,x,u)⊤P}+⟨b(t,x,u),p⟩+c(t,x,u)v+h(t,x,u)}(t,x,v,p,P)∈[0,T]×G×R×Rn×Sn
对于某一函数σ,b,c\sigma, b, cσ,b,c, 和hhh以及某度量空间UUU。(4.19)给出了在(v,p,P)(v, p, P)(v,p,P)凸的泛函总类中非常大类的非线性泛函FFF。

假设
费曼-卡克公式

以上情况可以进一步推广。如果F在(v,p,P)(v,p,P)(v,p,P)中不一定是凹的，在某些情况下，它可以表示为(v,p,P)(v,p,P)(v,p,P)中的某些函数的supinf或infsup。然后方程（4.18）是一些二人零和随机微分对策对应的上下Hamilton-Jacobi-Isaacs(HJI)方程。在这种情况下，我们可以将（4.18)的粘性解表示为这种微分对策的下值函数或上值函数。

然而，我们立即意识到，这些表示会变得越来越复杂。注意，表示（4.21）是复杂空间上复杂函数的初始值，复杂空间通常是一个无限维空间。因此，我们将不会朝着这个方向进一步发展。相反，在下面的小节中，借助BSD方程，我们将推导出某些类非线性偏微分方程的一些更简单的表示公式。

4.2 通过BSDE表示PDE的粘性解

非线性抛物PDE-终值问题（Cauchy问题）
非线性抛物PDE-终值边值问题
非线性的椭圆PDE-终值边值问题

4.2.1 非线性抛物PDE

在本小节中，我们将通过BSDEs来表示一些非线性偏微分方程的解。
我们从以下柯西问题(4.24)开始：
{vt+12tr⁡{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+h(t,x,v,σ(t,x)⊤vx)=0,(t,x)∈[0,T)×Rn,v∣t=T=g(x)\left\{\begin{aligned} v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+h\left(t, x, v, \sigma(t, x)^{\top} v_{x}\right)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times \mathbb{R}^{n}, \\\left.v\right|_{t=T}=g(x) \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧vt+21tr{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+h(t,x,v,σ(t,x)⊤vx)=0,(t,x)∈[0,T)×Rn,v∣t=T=g(x)
注意，上面的方程在vvv和vxv_xvx中是非线性的，但vxv_xvx中的非线性是一种特殊形式(如果a是可逆方阵，则为一般)。为使得它的解是由一个BSDE来表示是必要的。

假设
费曼-卡克公式

考虑以下终值边值问题(4.40):
{vt+12tr⁡{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+h(t,x,v,σ(t,x)⊤vx)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣∂G=ψ(t,x),v∣t=T=g(x)\left\{\begin{array}{l}v_{t}+\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left\{\sigma(t, x) \sigma(t, x)^{\top} v_{x x}\right\}+\left\langle b(t, x), v_{x}\right\rangle \\ \quad+h\left(t, x, v, \sigma(t, x)^{\top} v_{x}\right)=0, \quad(t, x) \in[0, T) \times G, \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(t, x), \\ \left.v\right|_{t=T}=g(x)\end{array}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧vt+21tr{σ(t,x)σ(t,x)⊤vxx}+⟨b(t,x),vx⟩+h(t,x,v,σ(t,x)⊤vx)=0,(t,x)∈[0,T)×G,v∣∂G=ψ(t,x),v∣t=T=g(x)
其中G⊆RnG \subseteq \mathbb{R}^{n}G⊆Rn是有C1C^{1}C1边界∂G\partial G∂G的有界区域。

费曼-卡克公式

4.2.2 非线性椭圆PDE

我们讨论一个更微妙的情况，即区域GGG中的非线性椭圆方程。我们考虑以下问题(4.43)：
{12tr⁡[σ(x)σ(x)⊤vxx]+⟨b(x),vx⟩+h(x,v,σ(x)⊤vx)=0,x∈Gv∣∂G=ψ(x)\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left[\sigma(x) \sigma(x)^{\top} v_{x x}\right]+\left\langle b(x), v_{x}\right\rangle+h\left(x, v, \sigma(x)^{\top} v_{x}\right)=0, x \in G \\ \left.v\right|_{\partial G}=\psi(x)\end{array}\right.{21tr[σ(x)σ(x)⊤vxx]+⟨b(x),vx⟩+h(x,v,σ(x)⊤vx)=0,x∈Gv∣∂G=ψ(x)

假设
费曼-卡克公式