说在开头：关于黎曼几何

老罗的假设是：过直线外一点，起码可以做出两条线与此直线平行。那么就有人对这点唱起了反调：不要说两条平行线，一条都不行，根本就不存在平行线的情况。即直线外一点做的线必定与该直线相交。这个人就是高斯的学生黎曼，他也推导出了一整套几何学：“黎曼几何”。黎曼和高斯都是人类数学史上数一数二的数学家（哥廷根数学派人才辈出，后面还会讲到），杨振宁排出他心目中最牛的几何学家，写过一首诗：千古寸心是，欧高黎嘉陈。其中高、黎指的就是高斯和黎曼。

1854年，黎曼在哥廷根大学（19~20世纪理论物理三大中心之一，牛B闪闪的存在，后续会被不断提及）发表了题为《论作为几何基础的假设》的就职演讲，标志着黎曼几何的诞生。黎曼描述的是球面的状况，罗巴切夫斯基描述的是马鞍面（双曲面）的状况，欧几里得描述的是平面的状况。各种古怪的几何学，本质上就是空间弯曲方式不一样造成的。黎曼延续的是老师高斯的微分几何思想，空间弯曲成什么样子都能计算。在弯曲的空间中是没有直线的，弯曲空间中只有“短程线”的概念。举个栗子：地球表面就是一个球面，假设从上海飞往洛杉矶（两地基本同纬度），飞机在地图上看并非简单地沿着纬线飞，而是沿着“大圆航线”飞行；“大圆航线”是地球上两点间路程最短的线，顾名思义也叫“短程线”。短程线在大地测量学上很常用，因此还有另外一个名字叫做“测地线”；广义相对论中也借用了这个概念，不过测地线在广义相对论中是两点间最长的线，并非最短（后续会讲到，根据闵可夫斯基时空理论，曲线反而比直线短）。格罗斯曼和爱因斯坦当年在为广义相对论研究寻找合适的数学工具，最后他们发现黎曼的几何理论最合适，为广义相对论提供了数学基础。

黎曼将高斯的平面“书虫”假象进行了扩充，用于阐述几何与我们已熟悉的力之间的关系：假如一张纸上生活着二维生物，将它们所生活的纸褶皱之后，它们依然会觉得世界是平的，但当它们在褶皱的纸上运动时，它们就会感受到看不见的“力”阻止它们沿直线运动。

如果把这个思路扩展到我们的三维世界，就可以得到这样的结论：我们看不见空间的弯曲，但在弯曲的空间中运动，会感到一股神秘的力在拉拽我们。而这种力不仅是引力，黎曼把电力、磁力也归结于宇宙在第四维空间的褶皱，只是我们看不见。黎曼通过引入第四空间维度，无意间探知到了自然定律在高维度会变得更加简单的秘密。而且他还找到了让所有人都能认同他思想的表述方法，黎曼如此便建立了高维空间（例如：弦理论）的数学骨架。

1866年7月20日，年仅40岁的黎曼在第三次去意大利休养的途中因肺结核在塞拉斯卡去世。

一，电阻器分类

我们从不同角度，可以对电阻器的种类作不同划分，如下图所示：

1. 按用途分类，这种分类方式侧重于电阻的实际电路设计应用：

1, 通用型：适应一般技术要求的电阻，功率在0.06W~1W之间，阻值在1Ω~22MΩ之间，允许误差为1%~10%之间；

——应用于一般的数、模电路：分压、阻抗匹配、上下拉等应用。

2, 精密型：高精密度及高稳定性（低温漂：低至2ppm/℃）电阻，功率一般不大于2W；阻值在0.01Ω~20MΩ之间，允许误差小至0.01%；相对普通电阻有更高的精度、长期稳定性、温度系数小的特性；

——应用于精密仪器：医疗、量测、电信设备等，汽车电子电路，高精度电压采样电路，电源电流/功耗监测（金属箔电阻器）电路等。

3, 功率型：又被称为发热电阻/负荷电阻，在电路中主要起到降压和限流的作用，通常具有较高额定功率，功率可达3KW以上；主要分为三类：线绕功率电阻，膜式功率电阻，实心陶瓷电阻；

——应用于为大电源电路提供假负载，检测电源输出能力。

4, 高压型：能够承受瞬间的高温、高压冲击，通常用于高压装置中，功率可达100W，额定电压可达100kV，标称值可达lGΩ；通常由玻璃釉膜和合成炭膜制成；

——应用于高压装置中用作分压器和吸收器，也可供整流滤波电容器的放电和熄弧用。

5, 高频型：自身电感量非常小，常被称为无感电阻，阻值一般小于1KΩ，功率范围宽，最大可达1W；在射频和微波电路中应用的主要是薄膜贴片式电阻。

2. 按特殊用途分类，这些器件对外呈现电阻的特性，但又各怀独门绝技，已不属于一般电阻的应用：

1, 热敏电阻：一种传感器电阻，其电阻值随着温度的变化而改变；分为NTC（负温度系数）和PTC（正温度系数）；

——主要应用于对外通信接口的电路防护（例如：POTS），温度监测等；

2, 压敏电阻：具有非线性伏安特性的电阻器件，主要用于在电路承受过压时进行电压钳位（电源电路防护），吸收多余的电流以保护敏感器件（VDR）；

3, 光敏电阻：利用半导体光电效应制成的一种电阻值随入射光强弱而改变的电阻器；

——主要用于光控调光，光控开关等；

4, 力敏电阻：利用半导体材料的压力电阻效应制成的，能将机械力转换为电信号的特殊元件（即电阻值随外加力大小而改变）；

——用于各种矩力计、半导体传声器及各种压力传感器中。

5, 磁敏电阻：一种对磁敏感、具有磁阻效应（利用半导体的磁阻效应制造的，常用InSb材料加工而成）的电阻元件；

——阻值随穿过其磁通量密度的变化而变化，用于磁场强度、漏磁、制磁的检测。

6, 湿敏电阻：利用湿敏材料吸收空气中的水分而导致本身电阻值发生变化这一原理而制成。

——基片上覆盖一层用感湿材料制成的膜，当空气中的水蒸气吸附在感湿膜上时，元件的电阻率和电阻值都发生变化，利用这一特性测量湿度。

7, 气敏电阻：一种半导体敏感器件，利用气体的吸附而使半导体本身的电导率发生变化的机理来进行检测。

如上很多特殊用途电阻中采用的是半导体材料，有关于半导体相关特性、原理，后续《半导体基础专题》详细分析。

二，片状电阻器

我们现在大多数字电路设计中使用的是片状电阻（对模拟不熟），它就有非常明显的优点，足以在大多数硬件电路设计中成为“理想”电阻器：外观尺寸均匀且小型化（寄生电容、电感小），耐潮湿，耐高温（环境适应性好），可靠度高，精度高且温度系数与阻值公差小等等。

片状电阻器按生产工艺，可分为：厚膜（Thick Film）和薄膜（Thin Film）两种。

1，薄膜和厚膜电阻器

薄膜和厚膜电阻的整体结构基本一样，如果没有安装氪金狗眼的话是无法区分的，它们主要差别在于电阻导电层材料的不同，咱们先从定义下手，来看看薄膜与厚膜电阻器的差别。

薄膜电阻器：是用真空蒸发、磁控溅射等工艺方法将电阻率材料（镍化铬）蒸镀于基底绝缘材料（氧化铝陶瓷，硅或玻璃）表面制成，厚度约0.1um，然后通过光刻工艺将薄膜蚀刻成一定的形状。

——嚯，看这描述那是相当的高科技，效果也必须相当地好啊；这种光刻工艺十分精确，可以形成复杂的形状，薄膜电阻精度可以做得非常高。

厚膜电阻器：是指采用厚膜工艺印刷（氧化钌或其他合金的糊状物）而成的电阻，一般采用丝网印刷或模板印刷工艺；厚度约为100um。

——就是一坨粑粑糊在陶瓷基板上，不过手艺还不错，能达到um级别；电阻浆料基于钌，铱和铼的氧化物，也被称为金属陶瓷（陶瓷 - 金属）。

我们看到薄膜电阻器的薄膜厚度控制更精确，镀层也容易切割便于制造高精度电阻器；而厚膜电阻器的电阻材料金属颗粒分布很难做到非常均匀，而且印刷厚度的控制也相对更难，最后成型为玻璃状晶体，加工难度大（有徒手碎玻璃经验的同学知道，玻璃受力容易裂开），这些因素使得厚膜电阻精度相对更低。

具体关于薄膜和厚膜电阻器的分析，如下所示：

1. 薄膜电阻器的缺点主要就是贵，其它优点如下所示：

1, 材料相对更均匀（便于电阻值的设计），制造工艺更加可控，它还可以通过光刻或者激光修正，产生图案增加电阻路径并校准电阻值，所以薄膜电阻阻值可以做到0.1%甚至0.01%；

2, 可选用非常低温度系数（TCR）的导电材料，使得电阻器阻值随温度变化非常小，阻值稳定可靠；

3, 一般应用于精密应用：各类仪器仪表，医疗器械，电源，电力设备，电子数码产品等。

2. 厚膜电阻器的特点如下所示：

1, 厚膜电阻通过合金导电材料和绝缘体材料混合的糊状物质，印刷到陶瓷基板上烧制而成；其烧制成后的导电材料类似玻璃，难于切割控制阻值；所以厚膜电阻一般精度较差：10%，5%，1%是常见精度；

——将电阻层在850℃下印刷到基板上烧制糊剂后变成玻璃状，使其能很好地防潮。

2, 厚膜电阻导电材料为粑状物质，其温度系数(TCR)上很难控制，一般较大；

——TCR（ppm/℃）是一个不容忽视的微小参数，1%的普通电阻的TCR系数在几千ppm/°C范围内，整体阻值的变化与电阻的材料、实际功率以及物理尺寸相关。

3, 但是厚膜电阻成本非常低，迄今为止电气和电子设备中使用最多的电阻器。

——单板上常用的0402/0603/0805/1206等封装贴片电阻器，一般都是厚膜电阻。

3. 薄膜电阻器与厚膜电阻器的电阻层对比，如下图所示；

1, 薄膜电阻器相对于厚膜电阻器的电阻层更加均匀，容易制作高精度、稳定的电阻；

2, 薄膜电阻器的电阻层有其最佳厚度的要求，如果薄膜电阻的电阻层太薄则更容易被氧化，并严重影响其温度系数（TCR）；

——薄膜电阻器对电阻层厚度的要求严重影响了薄膜电阻的阻值范围，且大阻值薄膜电阻的退化率也非常高。

3, 厚膜电阻依靠玻璃基体中金属粒子间的接触形成电阻，这些触点构成完整电阻；

——工作中的热应变会中断接触，阻值会随着时间和温度持续增加，其稳定性较差。

4, 厚膜电阻结构中成串的电荷运动，粒状结构使厚膜电阻产生较高的电流噪声，相同尺寸下，电阻值越高（金属成分越少），噪声越高，稳定性越差；

——因为厚膜电阻中的自由电子受到电场力的作用下，在运动过程中碰撞的概率（杂质颗粒多）远大于薄膜电阻，所以电子运动更加杂乱，噪声更大。

5, 厚膜电阻结构中的玻璃成分在电阻加工过程中形成玻璃相保护层，因此厚膜电阻的抗湿性高于薄膜电阻，更不容易被氧化。

薄膜电阻器与厚膜电阻器的参数对比如下图所示，我们看到薄膜电阻是作为：精密型电阻和高频型电阻的非常好选择。而厚膜电阻器价格便宜，小型化，寄生电感/电容小，足以满足一般的数字电路硬件设计中对于电阻器的要求。

——我觉得薄膜电阻在数字电路中的使用真是少之又少，除非是在一些高精度要求的场合。

2，厚膜和薄膜电阻器的结构及工艺流程

厚膜电阻器与薄膜电阻器只是电阻材料上的差别，整体结构基本一致，而且都是承载于陶瓷基板之上，以厚膜电阻器为例来看片状电阻器的结构，如下图所示。

1. 片状电阻的主体是陶瓷基板（结构图中的①），这是片状电阻器最重要的组成部分，所有电阻器的其它材料都基于陶瓷基板之上；那为什么要采用陶瓷（三氧化二铝）作为基板材料呢？因为它足够优秀：

——不光是电阻器有采用陶瓷基板，而且电容器和电感器也有用陶瓷做基板材料的；只要是人才，在哪都能有闪光的舞台。

1, 机械性能：足够高的机械强度，加工性强，良好的表面粗糙度和清洁度，无弯曲裂痕；

2, 电学性质：绝缘电阻高，介电常数小（表示介电损耗小，后续《信号完整性》专题深入分析），高温、高湿环境的性能稳定，可靠性高；

3, 热学性质：热导率高（散热好），膨胀系数与电阻其它材料匹配（不会破裂），耐热性优良；

4, 其它性质：化学结构稳定，容易金属化镀膜，无毒无害，容易制造，工艺成熟，价格低等。

2. 陶瓷基板两端电极的正反面镀上导体（银）：面电极和背电极（结构图中的②和③）；目的是搭建电阻材料与电极之间的导电通道；

3. 电阻体（结构图中的 ④）是电阻器的核心，为导体正面印刷的电阻浆料；其材料必须与面电极（②）良好接触；

1, 电阻浆料是由导电材料（导电相）、玻璃珠（玻璃相）与有机溶剂（载体）按一定的比例经过三辊机轧制混合均匀的满足印刷特性的膏状物；

2, 电阻浆料有釕系厚膜电阻浆料和钯银（Pd/Ag）厚膜电阻浆料两种。

4. 一次保护层（结构图中的⑤）: 采用玻璃材料，对印刷的电阻层进行保护，防止下道工序镭射修整时对电阻层造成大范围破坏；

5. 二次保护层（结构图中的⑥）：采用玻璃/树脂材料，保护层需具备抗酸碱腐蚀的功能，使电阻不受外部环境影响；

6. 阻值码字印刷（结构图中的⑦）：将电阻值以数字码标示；

7. 端电极（结构图中的⑧）：将面电极和背电极连接在一起，其作用是将电阻体的电气连接至电阻管脚端；

8. 中间电极（结构图中的⑨）: 将液态的镍溅渡到端面上，形成侧面导体，镍具有强抗氧化性能，主要用于隔离内部银电极，防止内部电极被氧化；

9. 外部电极（结构图中的⑩）：采用电镀技术将金属锡镀到镍电极外层，增高架电阻可焊性，从而增强其可制造性。

厚膜电阻的制造过程，具体如下图所示。

在经过前期对厚膜电阻器的生产后，后期还将经过筛选、测试以及编带等过程，才能真正成为可用的电阻器，补充电阻相关制造工艺流程说明如下：

1. 折粒：將条状之工件分割成单个的粒状；

2. 磁性筛选：利用镍的磁性将不良品筛选出来；不良品的磁性小，筛选时掉落到不良品盒，良品掉落到良品盒；

3. 电性能测试：阻值进行测试，按不同精度需求筛选出合格产品；

4. 编带包装：将电阻装入纸带包装成卷盘。

3，片状电阻防硫化

如上一节厚膜电阻结构所述，片状电阻有三层电极结构：面电极（银电极），中间电极（镍镀层），外部电极（锡镀层）。其中面电极材料是金属导电体（银），二次保护包裹层是非金属不导电体，如下图所示：电镀层和保护层的交界线区域中，电镀层很薄时会产生空隙；此时外界含硫腐蚀气体通过二次保护层与电极之间的交界处渗透到面电极，使面电极的银产生硫化，生成的化合物（Ag2S，FlqT-Ag2S)导电率小，使得电阻器失去导电能力而失效。

防硫化电阻器：通过延长二次保护包覆层设计尺寸，同时让底层电极覆盖上二次保护，避免相对薄弱的二次保护包覆层边缘直接暴露于空气环境中，提高了产品的防硫化能力。

防硫化电阻设计有两种思路：

1. 从包封覆盖角度出发：采用碳系导电树脂胶覆盖在面电极上，并延伸到二次保护层上；

2. 从材料角度出发：提高面电极银钯（Ag/Pd）浆料中钯的含量，钯含量从0.5%提高到10%以上，提升电阻抗硫化能力。

4，金属箔电阻器

从金属箔电阻器的各个方面表现来看，它都是目前最接近完美的电阻器（完美，当然也意味着：贵），或则说是在众多电阻器中最像“电阻器”的电阻器，是理想的精密电阻器（理想，当然也意味着：很贵）。

金属箔电阻：通过真空熔炼形成镍铬合金（记住：合金的温度系数小，敲黑板~），然后通过滚碾的方式制作成金属箔，再将金属箔黏合在氧化铝陶瓷基底上，再通过光刻工艺来控制金属箔的形状，从而控制电阻大小的电阻器。如下图金属箔电阻器结构所示，它与薄膜/厚膜电阻器的主要差别在于电阻体材料不一样，

金属箔电阻器是目前性能控制做的最好的电阻器，远比其它电阻器要好太多（金属箔电阻器：我不是说你，我是说你们在座所有的电阻器都是——辣鸡~）：

1. 高精度：调阻分辨率可达0.0005%（5ppm）；

2. 低功率系数（PCR）：对电阻施加额定功率，阻值变化单位为ppm/W；

3. 低TCR：极低温度漂移（0.2ppm/c）；

4. 高负载寿命稳定性：50ppm；

5. 低噪声：金属箔电阻器产生的噪音最小，电流通过金属合金的内部微粒边界导通电路；微粒间的电流路径经过一个或者更多的金属晶体包括多层，更长的路径穿过分界线，减少了噪音产生的几率；

6. 低寄生电感/电容：在平面形电阻中，电阻路径图案有意设计成为平行的几何直线以抵消电抗：蛇形平面电阻阻值路径如右下图所示，邻近反方向电流的互感减小了线路电感，也减小了电容（这是什么道理了？《信号完整性基础》专题详细分析）。

~你的思考（提问），是对我最大的支持~

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