1. 相位调制信号

相位调制中，相位信息叠加到载波上，数学表达式如下：

其中，是原始信号， $f_c$ 是载波频率， $\beta$ 是载波相位， $A$ 是载波幅值。

并且， $f_c>>f_m$ .

调制信号 $x(t)$ 可以简化成如下形式：

其中，是瞬时相位。

2，相位调制信号的解调

为了从调制信号 $x(t)$ 中解调出原始信号 $m(t)$ ，可以将实值信号 $x(t)$ 变成解析信号 $z(t)$ ，然后求解 $z(t)$ 的瞬时相位，就得到了，再从瞬时相位中减去 $2{\pi}f_ct+\beta$ ，最终就可以得到原始信号。

那么问题来了，如果收端预先不知道载波频率和相位，那么 $2{\pi}f_ct+\beta$ 该怎么求解呢？

注意到 $f_c>>f_m$ ，因此，可以近似为关于t的一条直线。如下图所示。

因此，可以用一阶多项式近似的方法求解出 $2{\pi}f_ct+\beta$ 。

3，Matlab代码和图示

代码如下：

%Demonstrate simple Phase Demodulation using Hilbert transform
pkg load signal;clearvars; clc;
fc = 210; %carrier frequency
fm = 10; %frequency of modulating signal
alpha = 1; %amplitude of modulating signal
theta = pi/4; %phase offset of modulating signal
beta = pi/5; %constant carrier phase offset
receiverKnowsCarrier= 'False';
%Set True if receiver knows carrier frequency & phase offsetfs = 8*fc; %sampling frequency
duration = 0.5; %duration of the signal
t = 0:1/fs:duration-1/fs; %time base%Phase Modulation
m_t = alpha*sin(2*pi*fm*t + theta); %modulating signal
phi_t = 2*pi*fc*t + beta + m_t;
x = cos(phi_t); %modulated signalfigure(); subplot(2,1,1); plot(t,m_t) %plot modulating signal
title('Modulating signal'); xlabel('t'); ylabel('m(t)')
subplot(2,1,2); plot(t,x) %plot modulated signal
title('Modulated signal'); xlabel('t');ylabel('x(t)')%Add AWGN noise to the transmitted signal
nMean = 0; nSigma = 0.1; %noise mean and sigma
n = nMean + nSigma*randn(size(t)); %awgn noise
r = x + n; %noisy received signal%Demodulation of the noisy Phase Modulated signal
z= hilbert(r); %form the analytical signal from the received vector
inst_phase = unwrap(angle(z)); %instaneous phase%If receiver knows the carrier freq/phase perfectly
if strcmpi(receiverKnowsCarrier,'True')offsetTerm = 2*pi*fc*t+beta;
else %else, estimate the subtraction termp = polyfit(t,inst_phase,1);%linearly fit the instaneous phase%re-evaluate the offset term using the fitted valuesestimated = polyval(p,t); offsetTerm = estimated;
end
demodulated = inst_phase - offsetTerm;
figure(); plot(t,demodulated); %demodulated signal
title('Demodulated signal'); xlabel('n'); ylabel('\hat{m(t)}');

图示如下：

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