最大流算法 - 标号法

标号法求最大流

图论中网络的相关概念见上篇博客

算法基本思想：
从某个初始流开始，重复地增加流的值到不能再改进为止，则最后所得的流将是一个最大流。为此，不妨将每条边上的流量设置为0作为初始流量。为了增加给定流量的值，我们必须找出从发点到收点的一条路并沿这条路增加流量。

当前流为最大流的充要条件：网络中不存在增广路
最大流最小截定理：在任何网络中，最大流的流量等于最小截集的容量。
整数流定理：在任何网络中，如果网络所有的弧容量都是整数，则存在整数最大流。

明确一点：最大流是指网络中流的值达到最大，即源的出流量或汇的入流量达到最大，每段弧都有对应的流量，而不是求网络中某个路径的流量。

把最大流算法想象成两个运输站之间运货，两个运输站之间有很多个中转站，每个中转站都有一个最大容量，站与站之间运货都有不同的运货量，而且中转站不会留货物，所以货物的总量一定等于源站的出货数或者汇站的进货数。最大流算法就是在不超过所有中转站的容量的情况下，求最大出货量/进货量以及所有中转站之间的运货量。
如下图所示，左边是容量，右边是流量，在如图所示的流中，流的值达到了最大，为13，也不存在增广路，所谓增广路就是一条从源到汇的路径，路径上的所有弧非饱和（正向）或非空（反向），即一条仍能增加流量的路。

为什么说增广路是一条仍能增加流量的路？其实不难理解，增广路的定义如上文，路径上的所有弧非饱和（正向）或非空（反向），反向弧的流量假设为n，实际上等价于为正向弧的流量为-n，因为n不能小于0，所以n=0的时候，反向弧的流量虽然达到了最小，但是把他当做正向弧的时候，流量却达到了最大。
对于一条路径而言，非饱和弧和非空弧都意味着该条路径的流量没有达到饱和。既然网络中存在一条没有达到饱和的路径，那么网络的流也没有达到最大。这就是当前流为最大流的充要条件，可用数学语言证明。

算法文字描述：
步骤0：将网络中所有弧流量全部置0
步骤1：将源的点流量设为无穷大，令u=s。
步骤2：标记点vi=uv_i=uvi=u的所有未被标记的邻点vjv_jvj的点流量（BFS）。
标记方法：若u到邻点是正向弧，且流量小于容量，则点流量Δ(vj)Δ(v_j)Δ(vj)取前点流量Δ(vi)Δ(v_i)Δ(vi)和弧的容流量差值Cij−FijC_{ij}-F_{ij}Cij−Fij的较小者
若是反向弧连接，且流量大于0，则点流量Δ(vj)Δ(v_j)Δ(vj)取前点流量Δ(vi)Δ(v_i)Δ(vi)和弧流量FijF_{ij}Fij的较小者
步骤3：若标记到了汇则转步骤4，否则任选一个刚刚被标记的点设为uuu，转步骤2，若刚刚没有标记任何点则算法结束。（步骤2由于会执行多次，刚刚表示步骤2最近一次执行时标记的点，即viv_ivi的可被标记的邻点）
步骤4：从汇开始，依次回溯被标记的点，并将两点之间的弧加/减一个汇流量Δ(t)Δ(t)Δ(t)，正向则加，反向则减，回溯到源后，转步骤1。

算法符号描述：
步骤0： 设F是从源s到汇t的任意可行流，对任意<μ,v>=<vi,vj>∈E<μ,v>=<v_i,v_j>∈E<μ,v>=<vi,vj>∈E，令Fij=0F_{ij}=0Fij=0。//从零流开始。
步骤1： 对源s=v0s=v_0s=v0标记为(s,+,Δ(s)=∞)，S=｛s｝，U=｛vj｝,j=0,1,2,⋯,n；μ=vi=s。(s,+,Δ(s)=∞)，S=｛s｝，U=｛v_j｝,j=0,1,2,⋯,n；μ=v_i=s。(s,+,Δ(s)=∞)，S=｛s｝，U=｛vj｝,j=0,1,2,⋯,n；μ=vi=s。(S表示已标记的顶点集，U未检查的顶点集，初始值为全体顶点。)
步骤2： 对S¯S¯S¯(S的补)中与μ=viμ=v_iμ=vi的所有邻点vjv_jvj，有：
(1) 若<vi,vj>∈E，且Fij<Cij<v_i,v_j>∈E，且F_{ij}<C_{ij}<vi,vj>∈E，且Fij<Cij，则将vjv_jvj标记为(vi,+,Δ(vj))(v_i,+,Δ(v_j))(vi,+,Δ(vj))，其中Δ(vj)=min⁡｛Δ(vi),Cij−Fij｝，S=S∪vjΔ(v_j)=min⁡｛Δ(v_i),C_{ij}-F_{ij}｝，S=S∪{v_j}Δ(vj)=min⁡｛Δ(vi),Cij−Fij｝，S=S∪vj。
(2) 若<vj,vi>∈E<v_j,v_i>∈E<vj,vi>∈E，且Fij>0F_{ij}>0Fij>0，则将vjv_jvj标记为(vi,−,Δ(vj))(v_i,-,Δ(v_j))(vi,−,Δ(vj))，其中Δ(vj)=min⁡｛Δ(vi),Fij｝，S=S∪vjΔ(v_j)=min⁡｛Δ(v_i),F_{ij}｝，S=S∪{v_j}Δ(vj)=min⁡｛Δ(vi),Fij｝，S=S∪vj。
步骤3： 若vj=t∈Sv_j=t∈Svj=t∈S，转步骤4，否则vj≠tv_j≠tvj=t，令U=U−viU=U-{v_i}U=U−vi，若S∩U=φS∩U=φS∩U=φ，则算法结束，当前流为最大流；否则若S∩U≠φS∩U≠φS∩U=φ，任选vi∈S∩Uv_i∈S∩Uvi∈S∩U，转步骤2。（实际上，S∩U就是步骤2中刚刚被标记的点）
步骤4： 令z=tz=tz=t。
步骤5： 若zzz的标记为(g,+,Δ(z))(g,+,Δ(z))(g,+,Δ(z))，则F(<g,z>)=F(<g,z>)+Δ(z)F(<g,z>)=F(<g,z>)+Δ(z)F(<g,z>)=F(<g,z>)+Δ(z)；
若z的标记为(g,−,Δ(z))(g,-,Δ(z))(g,−,Δ(z))，则F(<z,g>)=F(<z,g>)−Δ(z)F(<z,g>)=F(<z,g>)-Δ(z)F(<z,g>)=F(<z,g>)−Δ(z)。
步骤6： 若g=sg=sg=s，则取消所有点的标号，转步骤1，否则，令z=gz=gz=g，转步骤5。
标记的意义：(vi,+,Δ(vj))(v_i,+,Δ(v_j ))(vi,+,Δ(vj))表示点viv_ivi经流量为Δ(vj)Δ(v_j)Δ(vj)的正向弧到达点vjv_jvj
(vi,−,Δ(vj))(v_i,-,Δ(v_j ))(vi,−,Δ(vj))表示点viv_ivi经流量为Δ(vj)Δ(v_j)Δ(vj)的反向弧到达点vjv_jvj

符号描述可能不好理解，对照文字描述理解。

例子：（编辑太麻烦了，从word截的图）

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