DTFT、DFT和STFT基本概念

离散信号x ( n ) x(n)x(n) 可以表示为连续模拟信号的采样，即

x ( n ) = x a ( t ) ∣ t = n T s x(n) = x_{a}(t)|_{t=nT_s}x(n)=xa​(t)∣t=nTs​​

其中 x a ( t ) x_a(t)xa​(t) 是模拟信号， t tt 代表时间，T s T_sTs​ 代表采样周期。

DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM

序列 x ( n ) x(n)x(n) 的DTDT 可以表示为

X ( w ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j w n X(w)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{x(n)e^{-jwn}}X(w)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jwn

x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( w ) e j w n d w x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(w)e^{jwn}dwx(n)=2π1​∫−ππ​X(w)ejwndw

其中逆变换仍为积分表达式。

DTFT特性

根据DTFT的定义，通过数学推导(积分变换)可以得到DTFT的特性

特性

时域

频域

线性

a 1 x 1 ( n ) + a 2 x 2 ( n ) a_1x_1(n) + a_2x_2(n)a1​x1​(n)+a2​x2​(n)

a 1 X 1 ( w ) + a 2 X 2 ( w ) a_1X_1(w) + a_2X_2(w)a1​X1​(w)+a2​X2​(w)

时移

x ( n − n 0 ) x(n-n_0)x(n−n0​)

e − j w n 0 X ( w ) e^{-jwn_0}X(w)e−jwn0​X(w)

频移

e − j w 0 n x ( n ) e^{-jw_0n}x(n)e−jw0​nx(n)

X ( w − w 0 ) X(w-w_0)X(w−w0​)

相乘

x 1 ( n ) x 2 ( n ) x_1(n)x_2(n)x1​(n)x2​(n)

X 1 ( w ) ∗ X 2 ( w ) X_1(w)*X_2(w)X1​(w)∗X2​(w)

卷积

x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) x_1(n)*x_2(n)x1​(n)∗x2​(n)

X 1 ( w ) X 2 ( w ) X_1(w)X_2(w)X1​(w)X2​(w)

最重要的一条特性就是时域的卷积等于频域的DTFT相乘，证明如下。

卷积(线性)定义：

x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x 1 ( m ) x 2 ( n − m ) x_1(n)* x_2(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x_1(m)x_2(n-m)x1​(n)∗x2​(n)=∑m=−∞∞​x1​(m)x2​(n−m)

证明：

D F T F ( x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) ) = ∑ n = − ∞ ∞ x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) e − j w n = ∑ n = − ∞ ∞ ∑ m = − ∞ ∞ x 1 ( m ) x 2 ( n − m ) e − j w n = ∑ m = − ∞ ∞ x 1 ( m ) e − j w m ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n − m ) e − j w ( n − m ) = X 1 ( w ) X 2 ( w ) DFTF(x_1(n) * x_2(n))=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_1(n)* x_2(n)e^{-jwn}\\=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x_1(m)x_2(n-m)e^{-jwn}\\=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x_1(m)e^{-jwm}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2(n-m)e^{-jw(n-m)}\\=X_1(w)X_2(w)DFTF(x1​(n)∗x2​(n))=∑n=−∞∞​x1​(n)∗x2​(n)e−jwn=∑n=−∞∞​∑m=−∞∞​x1​(m)x2​(n−m)e−jwn=∑m=−∞∞​x1​(m)e−jwm∑n=−∞∞​x2​(n−m)e−jw(n−m)=X1​(w)X2​(w)

DISCRETE FOURIER TRANSFORM(DFT)

因为DFT的时域和频域变换都是离散的表达式(无积分)，故DFT少了中间的一个用来强调只有时间离散的T(time)。

DTFT的时域信号表达式是离散频率的连续函数(积分)，不利于我们的应用计算，且实际使用时一般只用N个(有限)点的采样进行计算，因此我们可以使用N个点在频域进行采样，得到DFT表达式。

X ( k ) = ∑ n = 0 n = N − 1 x ( n ) e − j w n N k , 0 < = k < = N − 1 X(k)=\sum_{n=0}^{n=N-1}x(n)e^{-\frac{jwn}{N}k},0<=k<=N-1X(k)=n=0∑n=N−1​x(n)e−Njwn​k,0<=k<=N−1

x ( n ) = 1 N ∑ k = 0 k = N − 1 X ( k ) e − j w n N k , 0 < = n < = N − 1 x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{k=N-1}X(k)e^{-\frac{jwn}{N}k},0<=n<=N-1x(n)=N1​k=0∑k=N−1​X(k)e−Njwn​k,0<=n<=N−1

其中 e − j w n N e^{-\frac{jwn}{N}}e−Njwn​ 是序列中的基频， e − j w n N k e^{-\frac{jwn}{N}k}e−Njwn​k 是 k kk 次谐波分量，全部谐波分量中只有 N NN 个独立的分量,因为

e − j w n N ( k + N ) = e − j w n N k e^{-\frac{jwn}{N}(k+N)} = e^{-\frac{jwn}{N}k}e−Njwn​(k+N)=e−Njwn​k

FAST FOURIER TRANSFORM(FFT)

FFT和DFT计算结果是一样的，只是利用了DFT计算的重叠部分进行了优化，使得计算效率提高了 N l o g 2 N \frac{N}{log_2{N}}log2​NN​ 倍，当N越大时，效率提高的越多，以语音中常用的 N = 512 N=512N=512 为例，提高了56.9倍。

DFT(FFT)特性

DFT特性大部分和DTFT相同，但卷积定理方面不一样，DFT的时域圆周卷积等于频域乘积，而不是卷积。但大部分应用中我们用到比较多的是卷积，而不是圆周卷积，但在一定条件下圆周卷积和卷积相等。

SHORT-TIME FOURIER TRANSFORM(STFT)

前面介绍的DFT和DTFT都适用于统计平稳的信号，不适用于像语音这样的非平稳信号，为此引入STFT，将语音信号分成几十毫秒(一般为32ms)一帧的信号，每一帧近似是平稳的信号，然后每一帧进行DFT变换。

X ( n , w ) = ∑ n = − ∞ n = ∞ x ( m ) w ( n − m ) e − j w m X(n,w)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}x(m)w(n-m)e^{-jwm}X(n,w)=n=−∞∑n=∞​x(m)w(n−m)e−jwm

其中x ( m ) x(m)x(m) 是输入信号，w ( m ) w(m)w(m) 是分析窗，分析窗具有重要的作用，特别是在STFT的分析合成中。

STFT变换具有两种解释，每一种解释代表了一种分析综合的方法，第一种解释是，固定帧数n，就代表着加窗信号的傅里叶变换，第二种解释是，固定频率w，这就是一个滤波操作。