【控制理论】预测控制分析

先摘抄一部分来自《自动控制的故事》中关于预测控制的分析，大牛写的东西比较通俗，借着这部分摘要有一个基本的认识。

自动控制从一开始就是以机电控制为主导的。60年代数学派主导了一段时间后，70年代化工派开始“小荷才露尖尖角”。自校正控制已经有很多化工的影子，但化工派的正式入场之作是模型预估控制（model predictive control，MPC）。这是一个总称，其代表作是动态矩阵控制（dynamic matrix control，DMC）。

DMC 基本就是把非参数模型（在这里是截断的阶跃曲线）放入线性二次型最优控制的架构下，成功地解决了解决了多变量、滞后补偿和约束控制问题。多变量的含义不言自明，滞后放在离散动态模型下也很容易实现预测，这也没有什么稀奇。稀奇的是，DMC用“土办法”解决了约束控制问题。所有实际控制问题的控制量都有极限。DMC把线性规划和控制问题结合起来，用线性规划解决输出约束的问题，同时解决了静态最优的问题，

前面说到PID在当今过程控制中占至少85%，那MPC就要占14.5%了。

知乎上也有一些答案分析预测控制，其中有一个答案提到，预测控制完成的任务是将无限时间或者长时间的最优控制问题分解成若干短时间跨度的离散的最优控制问题。我觉得说得很到位。

最优控制问题的评价函数J如下：

$J=\sum ^{p}_{i=1}w_{i}e^{2}(k+i|k)+\sum^{M}_{j=1}r_{j}u^{2}(k+j-1|k)$

预测控制利用P个预测值y(k|k),y(k+1|k),,,,y(k+P|k) 求得M个控制信号u(k|k),u(k+1|k),,,u(k+M|k)

通常M<P<N

因为实际应用中只需要控制信号，即u(k)，那么肯定要将e(k)误差信号用u(k）信号来表达，于是有了下面对误差信号的逐步分解过程。

1、脉冲响应模型

其中H(l)为离散系统的传递函数，也称之为脉冲响应。

当l增大时，H(l)趋于零，因此可以用有限的卷积来近似:

————————————————————————————————————————————————————————

这里的 $y_{s}(k)$ 是我们自定义的期望曲线，希望以何种方式到达设定值。在上式中a越小，越快到达设定期望。

解释一下式（8.1.11），控制时域只包含M个控制信号，第M+1个控制信号保持和第M个控制信号一样。这里就是最开始所的将无限时间最优控制问题简化成若干有限时间最优控制问题，这样减小计算复杂度，对工程应用便利更大。

于是有了最终的结论：

最后总结一下预测控制算法的使用步骤

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