向量组A可以由一个向量组B表出，并且A的秩小于B的秩，那么A线性相关

命题：
设 α1,α2,⋯,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1,α2,⋯,αr 与 β1,β2,⋯,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_sβ1,β2,⋯,βs 是两个向量组，如果

向量组 α1,α2,⋯,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1,α2,⋯,αr 可以经 β1,β2,⋯,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_sβ1,β2,⋯,βs 线性表出；
r>sr>sr>s

那么向量组 α1,α2,⋯,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1,α2,⋯,αr 必线性相关

证明

由 1 有
αi=∑j=1stjiβj,i=1,2,⋯,r.\alpha_i=\sum_{j=1}^st_{ji}\beta_j,\qquad i=1,2,\cdots,r. αi=j=1∑stjiβj,i=1,2,⋯,r.
为了证明 α1,α2,⋯,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1,α2,⋯,αr 线性相关，只要证可以找到不全为零的数 k1,k2,⋯,krk_1,k_2,\cdots,k_rk1,k2,⋯,kr 使
k1α1+k2α2+⋯+krαr=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0 k1α1+k2α2+⋯+krαr=0
为此，我们作线性组合
x1α1+x2α2+⋯+xrαr=∑i=1rxi∑j=1stjiβj=∑i=1r∑j=1stjixiβj=∑j=1s(∑i=1rtjixi)βj.x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_r\alpha_r=\sum_{i=1}^rx_i\sum_{j=1}^st_{ji}\beta_j=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^st_{ji}x_i\beta_j=\sum_{j=1}^s(\sum_{i=1}^rt_{ji}x_i)\beta_j. x1α1+x2α2+⋯+xrαr=i=1∑rxij=1∑stjiβj=i=1∑rj=1∑stjixiβj=j=1∑s(i=1∑rtjixi)βj.
如果我们能找到不全为零的数 x1,x2,⋯,xrx_1,x_2,\cdots,x_rx1,x2,⋯,xr, 使 β1,β2,⋯,βs\beta_1,\beta_2,\cdots, \beta_sβ1,β2,⋯,βs 的系数全为零，那就证明了 α1,α2,⋯,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1,α2,⋯,αr 的线性相关性.这一点是能做到的。因为由2，即 r>sr>sr>s ,齐次方程组
{t11x1+t12x2+⋯+t1rxr=0t21x1+t22x2+⋯+t2rxr=0⋯ts1x1+ts2x2+⋯+tsrxr=0\left\{ \begin{aligned} t_{11}x_1+t_{12}x_2+&\cdots+t_{1r}x_r=0\\ t_{21}x_1+t_{22}x_2+&\cdots+t_{2r}x_r=0\\ &\cdots\\ t_{s1}x_1+t_{s2}x_2+&\cdots+t_{sr}x_r=0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧t11x1+t12x2+t21x1+t22x2+ts1x1+ts2x2+⋯+t1rxr=0⋯+t2rxr=0⋯⋯+tsrxr=0
中未知量的个数大于方程的个数，因此它有非零解

推论一

如果向量组 α1,α2,⋯,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1,α2,⋯,αr 可以经向量组 β1,β2,⋯,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_sβ1,β2,⋯,βs 线性表出，且 α1,α2,⋯,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1,α2,⋯,αr 线性无关，那么 r≤sr\le sr≤s

推论二

任意 n+1n+1n+1 个 nnn 维向量必线性相关。

事实上，每个 nnn 维向量都可以被 nnn 维单位向量 ε1,ε2,⋯,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn 线性表出，且 n+1>nn+1>nn+1>n, 因而必线性相关

推论三

两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量

推论四

一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量

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