java 三维向量类_计算几何，三维向量的旋转

写这篇日志有两个目的：一来是想测试新装上去的LaTeX插件显示数学公式是否好用(不过貌似通过RSS获取到的日志是没有办法显示的……)；二来是对于三维向量绕任意轴的旋转之前我都是用结论的，今天因为做计算机图形学的作业去推导了一下，发现计算量相当大，算了我一个早上，故特以此日志留念。

言归正传，首先我们讨论二维向量的旋转。

对于一个向量OP(x, y)，我们如何得知其绕原点O，沿逆时针方向(注意，以下所说的旋转均指逆时针方向，并且对于三维的情况我们假定坐标系都是符合右手定则的)旋转θ后的向量OP'(x', y')呢？

我们采取参数方程进行推导。设向量OP的长度为r，其辐角为φ，则其可表示为OP(r cos(φ), r sin(φ))，这样其旋转θ后的向量就可表示为OP'(r cos(φ + θ), r sin(φ + θ))，由三角函数的合角公式即可得到OP'(x cos(θ) - y sin(θ), x sin(θ) + y cos(θ))。

我们知道，几何中的变换是可以用线性代数中的矩阵进行描述的，上述旋转变换如果用矩阵描述便如下所示：

[cosθsinθ−sinθcosθ]⋅[xy]=[xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ]

好，现在我们已经知道如何进行二维向量的旋转了，那么我们开始讨论三维向量的旋转。

与二维向量不同，三维向量的旋转必须首先确定转动轴。那么首先来看三种特殊情况：绕x轴旋转、绕y轴旋转、绕z轴旋转。

注意到这三种特殊情况和二维情况是类似的，因为向量总在某个坐标平面内进行旋转，因此我们可以很容易地把前面那个矩阵扩展到三维，即如下所示：

Rx(θ)=⎡⎣1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎤⎦

Ry(θ)=⎡⎣cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎤⎦

Rz(θ)=⎡⎣cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦

现在，我们来看看如何推导向量绕任意轴向量OS(x, y, z)旋转的矩阵吧。

我们可以这样，先将向量OS通过旋转与x轴重合，这样绕向量OS的旋转就变为了绕x轴的旋转，之后我们再将向量OS转回原来的位置。

为此，我们首先将向量OS通过旋转与x轴重合。分为两步：首先将向量OS绕x轴旋转，直到向量OS处于yOz平面上；再将向量OS绕y轴旋转，直到向量OS与x轴重合。

事实上，通过简单的几何关系，我们可以得出两步中所需要转动角度的sin值和cos值。由此可以写出这两步变换分别对应的矩阵，如下所示(如果难以理解，可以画画图并对照前面绕坐标轴旋转的矩阵)：

R1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1000zy2+z2−−−−−−√yy2+z2−−−−−−√0−yy2+z2−−−−−−√zy2+z2−−−−−−√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

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