N 皇后是回溯算法经典问题之一。问题如下：请在一个 ni n 的正方形盘面上布置 n 名皇后，因为每一名皇后都可以自上下左右斜方向攻击，所以需保证每一行、每一列和每一条斜线上都只有一名皇后。

最简单的办法是暴力法，我们需要在 n2 个空格里选 n 个位置，所以可以依次 Cnn2 尝试种选择。暴力法的时间复杂度为 O(nn)。如果用回溯算法，时间复杂度降低为 O(n!)。因为 n 的大小对算法思路没有任何影响，所以简单起见，示例将解决 4 皇后问题。

N 皇后问题的算法与数独十分相似，同样是试错的思想。在解题过程中，我们动态地修改一个题解，让这个题解永远保持成立性。在解决 4 皇后问题中，我们一共要放置 4 名皇后，并且保证每行每列和每条斜线上只有一名皇后。我们不断地检查，如果题解不再满足约束条件，就改变它。

1) 如图 1 所示，用 1 表示皇后，我们从第一个空格开始，把皇后放在格中。

图 1：4 皇后(1)

只要盘面还有继续布置皇后的可能，就继续下去。当碰到盘面不成立或者没有布置可能的时候，再后退。我们知道第一行不能有两名皇后，所以从第二行继续。

2) 如图 2 所示，假设第二名皇后在第二行第一个空格。

图 2：4 皇后(2)

在继续到第三行之前，先检查一下盘面。如图  2 所示，因为盘面不成立，我们只好改变第二名皇后的位置。

3) 第二行的第二个空格不可行因为两名皇后将占用同一斜线。所以我们将第二名皇后放在第二行的第三个空格上，这时盘面是成立的，我们前进一行，如图 3 所示。

图 3：4 皇后(3)

我们发现第三行皇后没有可行的位置。这时候，我们碰到了“南墙”，所以回溯算法告诉我们：后退一行。

4) 如图 4 所示，我们退回到第二行，将第二名皇后放在下一个空格上。因为盘面成立，所以我们再次前进到第三行。

图 4：4 皇后(4)

5) 如图 5 所示，经过尝试，我们把第三名皇后放在第二个空格里。然而，来到第四行时，我们发现无可行选项。我们只好再次返回到第三行，却发现第三行也无其他可行选项。我们除了后退到第二行没有其他选择，但再次面临同样的问题，第二名皇后已经在最后一个空格了，没有其他选项了。

图 5：4 皇后(5)

6) 如图 6 所示，我们只好后退到第一行，将第一名皇后换到下一个空格中。

图 6：4 皇后(6)

7) 如图 7 所示，重复以上步骤我们最终会得到正确答案之一。我们将会把答案记录下来，并继续没完成的过程，从而得到所有的答案。在本例中，我们以行为单位。如果以列为单位同样可行。

图 7：4 皇后(7)

在 N 皇后问题中，回溯算法思路是每一次只布置一个皇后，如果盘面可行，就继续布置下一个皇后。一旦盘面陷入死局，就返回一步，调整上一个皇后的位置。重复以上步骤，如果解存在，我们一定能够找到它。

下面我们来看如何将以上步骤转换为代码。可以看到，我们在重复“前进—后退—前进—后退”这一过程。问题是，我们不知道一共需要重复这个过程多少次，也不能提前知道 n 是多少，更不知道每一次后退时需要后退几行，因此我们不能利用 for 循环和 while 循环来实现这个算法。

因此我们需要利用递归来实现代码结构。逻辑如下：当方法布置完当前行的皇后，就让方法调用自己去布置下一行的皇后。当盘面变成绝境的时候，就从当前方法跳出来，返回到上一行，换掉上一行的皇后再继续。

我们定义 NQueens(n) 方法，它负责输出所有成立的 ni n 盘面。其中 1 代表皇后，0 代表空格。

例如，NQueens(4) 输出：

[

[ [0，1，0，0],

[0，0，0，1]，

[1，0，0，0],

[0，0，1，0]

],

[ [0，0，1，0]，

[1，0，0，0],

[0，0，0，1]，

[0，1，0，0]]

]

在 NQueens() 方法中，我们会定义 helper(x) 方法帮助实现递归结构。helper(x) 方法负责布置第 x 行到最后一行的皇后，它在布置完当前行的皇后之后会调用自己，接着布置剩余行的皇后。递归的边界条件是当 x 等于 n 时，也就是盘面已经完整的时候，helper() 方法会把当前的盘面加进结果列表。

在解题过程中，我们需要一个变量用于储存当前盘面解，我们会动态地修改这个变量直到盘面满足条件。我们有两种储存方式，第一个是声明一个 ni n 的二维数组，初始是全部为 0，在解题过程中放置 1。比如：

[

[0，1，0，0],

[1，0，0，0]，

[0，0，1，0],

[0，0，0，1]

]

代表第一个皇后在第二个格子，第二个皇后在第一个格子，第三个皇后在第三个格子，第四个皇后在第四个格子。

第二种储存方式是利用一个长度为 n 的一维数组，其中第 i 个数值代表第 i 行皇后的坐标。比如 [1,0,2,3] 所表示的与上面的二维数组一致。因为两种方式储存的信息量一样，但是第二个选项占用更少的空间，所以我们优先选择第二个选项。

以下是完整代码：

#输出所有成立的n·n盘面

def NQueens(n):

#检查盘面是否成立

def checkBoard(rowIndex):

for i in range(rowIndex):　　　　#rowIndex是当前行数

if cols[i]==cols[rowIndex]:　#检查竖线

return False

if abs(cols[i]-cols[rowIndex]) == rowIndex-i:#检查斜线

return False

return True

#布置第rowIndex行到最后一行的皇后

def helper(rowIndex):

if rowIndex==n:　　　　　　　　 #边界条件

board = [[0 for _ in range(n)]　for _ in range(n)]

for i in range(n):

board[i][cols[i]] = 1

res.append(board)　　　　　　#把当前盘面加入结果列表

return　　　　　　　　　　　 #返回

for i in range(n):　　　　　　　#依次尝试当前行的空格

cols[rowIndex] = i

if checkBoard(rowIndex):　　 #检查当前盘面

helper(rowIndex+1)　　　　#进入下一行

cols = [0 for _ in range(n)]　　　　#每一行皇后的纵坐标

res = []　　　　　　　　　　　　　　#结果列表

helper(0)　　　　　　　　　　　　　 #从第1行开始

return res

在 NQueens() 方法中我们定义了两个子方法：checkBoard() 和 helper()。我们直接调用 helper(0)，让 helper() 方法帮我们解决问题。最后直接输出 res 答案集合。

首先注意要在调用 checkBoard() 和 helper() 前定义它们，否则程序会报错。另外一种写法是将这两个方法放在 NQueens() 外面。但是在方法中定义子方法的好处是我们可以直接调用 cols，n，res这些存在于 NQueens() 方法范围内的变量。如果把子方法定义在 NQueens() 外面，这些变量必须作为参数传入子方法，写起来相对比较烦琐。

我们声明以下两个变量的用途如下：

cols：这是我们当前的题解，第 i 个数值代表第i行皇后的坐标。比如 [1,0,2,4] 代表第一行的皇后在第二个空格，第二行的皇后在第一个空格，以此类推。注意坐标总是需要减 1；

rowIndex：我们所处的当前行的行数。我们从第 1 行开始时，rowIndex 等于 0，因为坐标需要减 1。当 helper(0) 调用 helper(1) 后，我们进入到了第 2 行，所以 rowIndex 在那时等于 1。

在 checkBoard() 方法里，我们做了两个检查，第一个是看每一列是不是只有一个皇后，第二个是看每一条斜线上是不是只有一个皇后。因为我们每多添加一名皇后时都会做一遍检查，所以我们在添加当前皇后前，盘面肯定是成立的。

因此，我们只需要看一下当前皇后对盘面的影响是否成立。也就是说，我们只需要检查当前皇后的纵坐标是不是独一无二的，以及当前皇后的两条斜线上有没有其他皇后就可以。斜线检查利用了纵坐标差和横坐标差的绝对值。

helper() 方法通过 for 循环依次尝试当前行的 n 个空格。如果把皇后放在第一个空格里成立，它会直接调用自己去往下一行(rowIndex+1 行)，但是如果当前空格不成立，它会尝试下一个空格。

如果 n 个空格都不成立，它会后退到上一行的 for 循环里，继续尝试上一行的下一个空格。比如，如果第三行的 n 个空格都不成立，helper(2) 就会返回 helper(1)，把第二个皇后换到第二行的下一个空格。

helper() 自我调用的方式可以被看作一个栈，或者一摞盘子，最后放上去的盘子总是第一个被取走的。如图 8 所示，每次我们调用 helper() 方法时，就像是放上去了一个盘子；

图 8：helper() 方法自我调用的顺序

如图 9 所示，每当 helper() 方法结束后，最上面的盘子会被取走，算法会自动返回到上一行。

图 9：helper() 方法回溯

如图 10 所示，我们不一定只将盘子放一次就取走，因为我们一直在尝试—碰壁—尝试—碰壁，所以真实的情况很可能是将盘子放上去，取走，再放上去，再取走，直到最后 helper(0) 被取走，意味着我们找到了答案之一。

图 10：helper() 方法的调用