扩展欧几里得定理新手向证明及代码

2024-04-24 16:36:21

知识储备

1 . 朴素欧几里得原理：gcd(a,b) == gcd(b,a % b)

2 . 负数取模：忽略符号返回绝对值就好了

3 . 模数原理：对于整数a，b必然存在整数k使得a % b == a - k * b，

且此时k == a / b向下取整

定理内容

对于正整数a，b，必然存在整数（不一定是正数）x，y，

使得ax+by==gcd（x，y）ax+by==gcd（x，y）ax+by==gcd（x，y）

证明

(来自SDFZ-SPLI的援助）
把两边同时除以gcd(x,y),由朴素欧几里得定理可以得到恒等式，说明一定存在至少一组解使得$ax+by==gcd（x，y）

求解过程

a*x1+b*y1=gcd(a, b);
b*x2+gcd(a%b)*y2=gcd(b, a%b);

∵gcd(a, b)==gcd(b, a%b)
∴a*x1+b*y1==b*x2+(a%b)*y2

∵对于a和b存在整数k使得a % b == a - k * b
∴a%b可以拆成a-k*b，k==(a / b 向下取整)

∴a * x1 + b * y1 == b * x2 + ( a - k * b ) * y2 【把k==(a / b 向下取整)代入】
∴a * x1 + b * y1 == b * x2 + ( a - ( a / b ) * b ) * y2
即a * x1 + b * y1 == b * x2 + a * y2 - b * ( a / b ) * y2
所以有a * x1 + b * y1 == a * y2 + b * ( x2 - ( a / b ) * y2 )
观察上式可知 x1 = y2 , y1 = x2 - a / b * y2
~~可能上面五行是小学数学？不是很难吧~~

所以得出结论：x1，y1是由x2，y2得来的

那么x2，y2也一定是由x3，y3得来的，所以我们来递归吧
但递归需要终止条件：
记得在辗转相除法求最大公约数的时候，我们的递归终止条件是一方为0，那我们现在也可以参考一下，先递归gcd(a , b)，当b==0时，此时a的值就是我们要的最大公约数，再根据扩展欧几里得定律a * x + b * y == gcd(a , b)，将a = a，b = 0带入，可以求出x和y的值，此时x == 1，y == 0，在这里终止递归。

代码实现

清楚了原理以后代码应该很简单吧

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}int r=exGcd(b,a%b,x,y);int t=x;x=y;y=t-a/b*y;return r;
}

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