密码学里的数学知识之

2024-04-19 23:43:04

计算机安全中，密码学涉及的数学知识

1 费马定理

费马定理：

若p是素数, gcd(a, p) = 1，

则ap−1≡1modp或即:ap≡amodp则 \ a^p-1 ≡ 1\ mod\ p\\或即:\ a^p ≡ a \ mod\ p 则 ap−1≡1 mod p或即: ap≡a mod p
白话：若a,p互素，则a%p就等于a^p%p

注：

gcd (a, p) ：求a,p的最大公因子，若为1，则两个数互素
素数和除它倍数以外的数都互素
r ≡ a mod q： r 和a 对 q 同余

作用：

简化一个高次幂的模运算
找同余的数字

2 欧拉定理

欧拉函数 Φ(n)：小于n，且与n互素的元素个数

若p为素数：则Φ§ ＝ p-1
若p,q为素数：则Φ(p×q) ＝(p-1)(q-1)
eg:Φ(15)=Φ(3∗5)＝(3−1)×(5−1)＝8eg:Φ(15)=Φ(3*5)＝(3-1)×(5-1)＝8 eg:Φ(15)=Φ(3∗5)＝(3−1)×(5−1)＝8

欧拉定理

如果a,n互素，
aφ(n)≡1modn或者：aφ(n)＋1≡amodna^{φ(n)} ≡ 1 \ mod\ n \\ 或者： a^{φ(n)＋1} ≡ a\ mod \ n aφ(n)≡1 mod n或者：aφ(n)＋1≡a mod n

3 中国剩余定理

中国剩余定理也叫孙子定理，是求解同余方程组的方法。如下《孙子算经》中的一题

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

接下来介绍什么是中国剩余定理，以及如何求解上题

定理：

问题可以表述为以下方程组

若整数m*1,m2, … ,*mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, … ,an，方程组（S）有解，且通解为如下形式。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hxEGXAdB-1608103459991)(https://gitee.com/handsomewu666/typora_for_md/raw/master/typora_pic/f17d4a87c03bd861cf52d0e8586de7b3.svg)]

其中：

M : 是整数m1,m2, … ,mn的乘积
Mi : 是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
ti :是Mi的逆元(模M下)

证明如下：证明

更有大佬对这部分做了比较详尽的解释：解释

这首诗有趣，推一遍，记住即可用，哈哈

三人同行七十稀：除3余1 +70

五树梅花廿一枝：除5余1 +21

七子团圆正半月：除4余1 +15

除百令五便得知：对105取余便是解

所以上题的答案是：
2∗70+3∗21+2∗15=233233mod105=23答案是：232*70 \ +3*21 \ + 2*15=233 \\ 233 \ mod\ 105=23 \\ 答案是：23 2∗70 +3∗21 +2∗15=233233 mod 105=23答案是：23

密码学里的数学知识之相关推荐

聊一聊世界杯里的数学知识
一.前言 2022 年卡塔尔世界杯足球赛已经开幕,这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行.也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.除此之外,卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行.首次由从未进过世界杯决赛 ...
codeforces#253 D - Andrey and Problem里的数学知识
这道题是这种,给主人公一堆事件的成功概率,他仅仅想恰好成功一件. 于是,问题来了,他要选择哪些事件去做,才干使他的想法实现的概率最大. 我的第一个想法是枚举,枚举的话我想到用dfs,但是认为太麻烦. ...
电气自动化专业里的计算机知识,为什么说千万别学电气自动化？哪些人适合学电气自动化？...
选择科目测一测我能上哪些大学选择科目领取你的专属报告 > 选择省份关闭请选择科目确定 v> 随着技术的不断发展,电气工程逐渐有了长足性的发展,各行各业里都涉及到了电气工程,如信 ...
如何用数学知识提升情商？数学学霸们的6大思维习惯
引言:成为一名"数学学霸"显然不是一件轻松的工作,不仅需要"高智商"的支持,还一不小心就被套上了"情商低""Nerd"的 ...
数学/物理知识在软件/算法中应用(1)，数学知识应用
> 数学知识 1.拉普拉斯算子可以给图像锐化:2.傅里叶变化可以给图像去燥啊,压缩啊,提取特征那些吧. 3.高斯模糊:4.RSA,大数难分解:5.了解矩阵,Android开发之图像处理那点事-- ...
关于一部分数学知识》（工具向）（实时更新）
这里汇总一下关于联赛的一些数学知识,以后做到有些关于数学的题就可以较快的解决(和愉快的装13). 1.组合数这个应该是高中数学就学过的知识,在这里详细的介绍就不给出了,可以自行百度. 公式一: 这个 ...
学习AI可能不需要那么多数学知识：20小时进阶计划
这里还有一个关于AI不为人知的小秘密: 事实上你不需要储备那么多的数学知识才能开始使用AI. 如果你是一名开发人员或系统管理员,你可能早已使用了很多你所了解的库和框架.为了使用curl(一个广泛使用的 ...
深度学习——你应该掌握的数学知识
深度学习--你应该掌握的数学知识声明: 1)为什么要讲数学 ?数学作为一个基础的工具,对于大多数理工学科,是必不可少的一部分,尤其深度学习是和数学联系比较紧密的一个学科,对于数学概念的扎实理解,会帮 ...
深入探讨编程到底需要知道多少数学知识
全世界只有3.14 % 的人关注了数据与算法之美这篇文章中我会深入探讨编程中所需要的数学知识.你可能已经都知道了. 对于基本的编程,你需要知道下面的: 加减乘除 - 实际上,电脑会帮你作加减乘除运 ...

最新文章

热门文章