博主正在学习INTRODUCTION TO MODERN CRYPTOGRAPHY (Second Edition) --Jonathan Katz, Yehuda Lindell，做一些笔记供自己回忆，如有错误请指正。整理成一个系列现代密码学，方便检索。

博主暂时跳过私钥加密部分，直接进入公钥加密，从第8章开始。

8.1节介绍了密码学所涉及的数学知识：数论和群论。其中，数论在初等数论，群论在近世代数中有较为完整深入的介绍。所以此节只简单概述数论和群论的定理，少数进行证明。

数论

素数和整除

• a∈Z,b∈Z+a\in Z,b\in Z^+a∈Z,b∈Z+，存在唯一的整数q,rq,rq,r使得a=qb+r，0≤r≤ba=qb+r，0\le r\le ba=qb+r，0≤r≤b。
• ∃X,Y∈Z,s.t.Xa+Yb=gcd(a,b)\exists X,Y\in Z,s.t. Xa+Yb=gcd(a,b)∃X,Y∈Z,s.t.Xa+Yb=gcd(a,b)，gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)是可以写成Xa+YbXa+YbXa+Yb的最小正整数。
• 如果c∣abc\mid abc∣ab，且gcd(a,c)=1gcd(a,c)=1gcd(a,c)=1，那么c∣bc\mid bc∣b。可推出，如果ppp是素数，而且p∣abp\mid abp∣ab，那么p∣ap\mid ap∣a或p∣bp\mid bp∣b。(因为p∤a→gcd(a,p)=1p\nmid a\rightarrow gcd(a,p)=1p∤a→gcd(a,p)=1)
• 如果a∣N,b∣N,gcd(a,b)=1a\mid N,b\mid N,gcd(a,b)=1a∣N,b∣N,gcd(a,b)=1，那么ab∣Nab\mid Nab∣N。

模运算

• 如果a=qN+ra=qN+ra=qN+r，那么[a[a[a mod N]=rN]=rN]=r
• “规约后，加、减、乘”↔\leftrightarrow↔“加、减、乘，再规约”；即如果a=a′a=a'a=a′ mod N,b=b′N,b=b'N,b=b′ mod NNN，则有a+b=a′+b′a+b=a'+b'a+b=a′+b′ mod N,ab=a′b′N,ab=a'b'N,ab=a′b′ mod NNN。
• 除法不一定能满足，因为往往没有定义。只有bbb在模NNN下是可逆的，即∃c∈{1,2……N−1},s.t.bc=1\exists c\in \{1,2……N-1\},s.t. bc=1∃c∈{1,2……N−1},s.t.bc=1 mod NNN，才有a/b=a′/b′=a′ca/b=a'/b'=a'ca/b=a′/b′=a′c mod NNN。而且bbb在模NNN下是可逆的↔gcd(b,N)=1\leftrightarrow gcd(b,N)=1↔gcd(b,N)=1。(根据扩展欧几里得算法，gcd(b,N)=1→Xb+YN=1→Xb=1gcd(b,N)=1\rightarrow Xb+YN=1\rightarrow Xb=1gcd(b,N)=1→Xb+YN=1→Xb=1 mod N→X=b−1N\rightarrow X=b^{-1}N→X=b−1 mod NNN)
• 模NNN下的加、减、乘、逆、指数运算都可以在多项式时间内完成。

群论

有限群

• 密码学中通常研究的是有限交换群
  • 封闭性、结合性、单位元、逆元、有限、交换性
• 有限群GGG的阶m=∣G∣m=|G|m=∣G∣，则∀g∈G,gm=1\forall g\in G,g^m=1∀g∈G,gm=1。(根据循环群：ggg的阶是<g><g><g>的阶，根据拉格朗日定理：<g><g><g>的阶是∣G∣|G|∣G∣的因子，则ggg的阶是∣G∣|G|∣G∣的因子，即若ggg的阶为ddd，则有d∣md\mid md∣m，即gm=gnd=(gd)n=en=eg^m=g^{nd}=(g^d)^n=e^n=egm=gnd=(gd)n=en=e)
• 有限群GGG的阶m=∣G∣m=|G|m=∣G∣，∀g∈G,∀x∈Z\forall g\in G,\forall x\in Z∀g∈G,∀x∈Z，有gx=g[xmodm]g^x=g^{[x mod m]}gx=g[xmodm]
• 有限群GGG的阶m=∣G∣m=|G|m=∣G∣，e∈Ze\in Ze∈Z，函数fe:G→Gf_e:G\rightarrow Gfe​:G→G定义为fe(g)=gef_e(g)=g^efe​(g)=ge。如果gcd(e,m)=1gcd(e,m)=1gcd(e,m)=1，则fff双射；如果d=e−1d=e^{-1}d=e−1 mod mmm，那么fdf_dfd​是fef_efe​的逆。(fd(fe(g))=fd(ge)=(ge)d=ged=g[edmodm]=g1=gf_d(f_e(g))=f_d(g^e)=(g^e)^d=g^{ed}=g^{[ed mod m]}=g^1=gfd​(fe​(g))=fd​(ge)=(ge)d=ged=g[edmodm]=g1=g，双射通过函数的逆来证明)

群Zn∗\mathcal{Z}_n^*Zn∗​

对于Zn={0,1……n−1}Z_n=\{0,1……n-1\}Zn​={0,1……n−1}，"0"对于乘法运算没有可逆元，把"0"除去，得到集合{1,2,……n−1}\{1,2,……n-1\}{1,2,……n−1}，这个集合是否对于乘法运算满足群的定义呢？需要判断是否每个元素都有可逆元。

在“模运算”中阐述过：bbb在模NNN下是可逆的↔gcd(b,N)=1\leftrightarrow gcd(b,N)=1↔gcd(b,N)=1，也就是只有bbb和NNN互素，在模NNN下bbb才有可逆元。那么我们取这么一个集合：ZN∗={b∈{1,…N−1}∣gcd(b,N)=1}Z_N^*=\{b\in\{1,…N-1\}|gcd(b,N)=1\}ZN∗​={b∈{1,…N−1}∣gcd(b,N)=1}。

• ZN∗Z_N^*ZN∗​在运算⋅modN\cdot_{mod N}⋅modN​下，是交换群。
• 如果N=pN=pN=p是素数，则ZN∗={1,2,……N−1},ϕ(N)=∣ZN∗∣=N−1Z_N^*=\{1,2,……N-1\},\phi(N)=|Z_N^*|=N-1ZN∗​={1,2,……N−1},ϕ(N)=∣ZN∗​∣=N−1；
• 如果N=pqN=pqN=pq，p、qp、qp、q是素数，则对于a∈{1,2,……N−1}a\in\{1,2,……N-1\}a∈{1,2,……N−1}，如果p∣ap\mid ap∣a或者q∣aq\mid aq∣a，则gcd(a,N)≠1gcd(a,N)\neq 1gcd(a,N)​=1，也就是说满足p∣ap\mid ap∣a或者q∣aq\mid aq∣a的aaa不在ZN∗Z_N^*ZN∗​中。这样的aaa有{p,2p,……(q−1)p}，{q,2q,……(p−1)q}\{p,2p,……(q-1)p\}，\{q,2q,……(p-1)q\}{p,2p,……(q−1)p}，{q,2q,……(p−1)q}，共有p−1+q−1p-1+q-1p−1+q−1个，那么ϕ(N)=N−1−(p−1+q−1)=pq−1−p+1−q+1=pq−p−q+1=(p−1)(q−1)\phi(N)=N-1-(p-1+q-1)=pq-1-p+1-q+1=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)ϕ(N)=N−1−(p−1+q−1)=pq−1−p+1−q+1=pq−p−q+1=(p−1)(q−1)。
• N=∏ipieiN=\prod_ip_i^{e_i}N=∏i​piei​​，pip_ipi​是素数，ei≥1e_i\ge 1ei​≥1，则ϕ(N)=∏ipiei−1(pi−1)\phi(N)=\prod_ip_i^{e_i-1}(p_i-1)ϕ(N)=∏i​piei​−1​(pi​−1)。
• ∀a∈ZN∗,aϕ(N)=1\forall a\in Z_N^*,a^{\phi(N)}=1∀a∈ZN∗​,aϕ(N)=1 mod NNN。

群同构和中国剩余定理

• 群GGG的运算是∘G\circ_G∘G​，群HHH的运算是∘H\circ_H∘H​，如果满足以下两个条件：
  • fff是双射
  • ∀g1,g2∈G\forall g_1,g_2\in G∀g1​,g2​∈G，有f(g1∘Gg2)=f(g1)∘Hf(g2)f(g_1\circ_G g_2)=f(g_1)\circ_H f(g_2)f(g1​∘G​g2​)=f(g1​)∘H​f(g2​)

那么函数f:G→Hf:G\rightarrow Hf:G→H是GGG到HHH的同构/isomorphism，写作G≅HG\cong HG≅H

• 如果存在GGG到HHH的同构fff，也一定存在HHH到GGG的同构f−1f^{-1}f−1，但有可能地，fff是可高效计算的，然而f−1f^{-1}f−1不能。
• GGG和HHH的直积：写作G×H,∀(g,h)∈G×H,g∈G,h∈H,G\times H,\forall (g,h)\in G\times H,g\in G,h\in H,G×H,∀(g,h)∈G×H,g∈G,h∈H, 运算∘\circ∘的定义是：(g,h)∘(g′,h′)=(g∘Gg′,h∘Hh′)(g,h)\circ(g',h')=(g\circ_G g',h\circ_H h')(g,h)∘(g′,h′)=(g∘G​g′,h∘H​h′)。
• 中国剩余定理：N=pqN=pqN=pq，p、qp、qp、q是素数，则ZN≅Zp×Zq,ZN∗≅Zp∗×Zq∗Z_N\cong Z_p \times Z_q,Z_N^*\cong Z_p^*\times Z_q^*ZN​≅Zp​×Zq​,ZN∗​≅Zp∗​×Zq∗​，其中同构函数fff的定义域是x∈{0,……N−1}x\in\{0,…… N-1\}x∈{0,……N−1}，值域是(xp,xq),xp∈{0,……p−1},xq∈{0,……q−1}(x_p,x_q),x_p\in\{0,……p-1\},x_q\in \{0,……q-1\}(xp​,xq​),xp​∈{0,……p−1},xq​∈{0,……q−1}，f(x)=([xf(x)=([xf(x)=([x mod p],[xp],[xp],[x mod q])q])q])。
  证明：
  • fff是双射
    • fff是单射
      如果f(x)=(xp,xq)=f(x′)f(x)=(x_p,x_q)=f(x')f(x)=(xp​,xq​)=f(x′)，那么x=x′=xpx=x'=x_px=x′=xp​ mod p,x=x′=xqp,x=x'=x_qp,x=x′=xq​ mod qqq，那么p∣x−x′,q∣x−x′,p\mid x-x',q\mid x-x',p∣x−x′,q∣x−x′,又因为gcd(p,q)=1gcd(p,q)=1gcd(p,q)=1，所以pq∣x−x′pq\mid x-x'pq∣x−x′，即N∣x−x′,x=x′N\mid x-x',x=x'N∣x−x′,x=x′ mod NNN。
    • fff是满射
      因为函数的值域大小应该是p⋅qp\cdot qp⋅q，∣ZN∣=N=p⋅q=∣Zp∣⋅∣Zq∣|Z_N|=N=p\cdot q=|Z_p|\cdot|Z_q|∣ZN​∣=N=p⋅q=∣Zp​∣⋅∣Zq​∣，所以fff是满射。
  • 定义群ZNZ_NZN​中的运算是"+N+_N+N​"，直积Zp×ZqZ_p\times Z_qZp​×Zq​的运算是"∘\circ∘"，∀x1,x2∈ZN\forall x_1,x_2\in Z_N∀x1​,x2​∈ZN​，有f(x1+Nx2)=f(x1)∘f(x2)f(x_1+_N x_2)=f(x_1)\circ f(x_2)f(x1​+N​x2​)=f(x1​)∘f(x2​)
    f(x1+Nx2)=([x1+Nx2f(x_1+_N x_2)=([x_1+_N x_2f(x1​+N​x2​)=([x1​+N​x2​ mod p],[x1+Nx2p],[x_1+_N x_2p],[x1​+N​x2​ mod q])q])q])
    =([x1+px2=([x_1+_p x_2=([x1​+p​x2​ mod p],[x1+qx2p],[x_1+_q x_2p],[x1​+q​x2​ mod q])q])q])
    =([x1+x2=([x_1+x_2=([x1​+x2​ mod p],[x1+x2p],[x_1+x_2p],[x1​+x2​ mod q])q])q])
    =([x1=([x_1=([x1​ mod p],[x1p],[x_1p],[x1​ mod q])∘([x2q])\circ([x_2q])∘([x2​ mod p],[x2p],[x_2p],[x2​ mod q])q])q])
    =f(x1)∘f(x2)=f(x_1)\circ f(x_2)=f(x1​)∘f(x2​)

使用中国剩余定理进行计算

• 函数fff是群G→HG\rightarrow HG→H的同构，GGG的运算是∘G\circ_G∘G​，HHH的运算是∘H\circ_H∘H​。∀g1,g2∈G\forall g_1,g_2\in G∀g1​,g2​∈G，当计算g=g1∘Gg2g=g_1 \circ_G g_2g=g1​∘G​g2​时，可以通过以下3步来计算(先分别求函数值，然后在同构群上计算，得到结果再映射到原群)：
  • h1=f(g1),h2=f(g2)h_1=f(g_1),h_2=f(g_2)h1​=f(g1​),h2​=f(g2​)
  • h=h1∘Hh2h=h_1\circ_H h_2h=h1​∘H​h2​
  • g=f−1(h)g=f^{-1}(h)g=f−1(h)
• 直积里的元素(xp,xq)(x_p,x_q)(xp​,xq​)可以被写成(xp,xq)=xp⋅(1,0)+xq⋅(0,1)(x_p,x_q)=x_p\cdot (1,0)+x_q\cdot (0,1)(xp​,xq​)=xp​⋅(1,0)+xq​⋅(0,1)，1p↔(1,0),1q↔(0,1)1_p\leftrightarrow(1,0),1_q\leftrightarrow(0,1)1p​↔(1,0),1q​↔(0,1)，也就是：(xp,xq)↔[(xp⋅1p+xq⋅1q)(x_p,x_q)\leftrightarrow [(x_p\cdot 1_p+x_q\cdot 1_q)(xp​,xq​)↔[(xp​⋅1p​+xq​⋅1q​) mod N]N]N]

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