《几何与代数导引》例2.6

当$b>a>0$时，圆
\begin{equation}
\begin{cases}
(y-b)^2+z^2=a^2\\
x=0\\
\end{cases}
\end{equation}
绕$z$轴旋转所成的曲面称为圆环面，试写出圆环面的方程.

解：点$p=(x,y,z)$在圆环面上，当且仅当存在圆环面上的点$(x_0,y_0,z_0)$,
使得
\begin{equation}
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2\\
(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0\\
\end{cases}
\end{equation}
且
\begin{equation}
\begin{cases}
(y_0-b)^2+z_0^2=a^2\\
x_0=0\\
\end{cases}
\end{equation}
则圆环面的方程是
\begin{equation}
(\sqrt{x^2+y^2}-b)^2+z^2=a^2
\end{equation}

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