7-1 输出全排列（C++，DFS）

题目描述：

请编写程序输出前n个正整数的全排列（n<10），并通过9个测试用例（即n从1到9）观察n逐步增大时程序的运行时间。

输入格式:

输入给出正整数n（<10）。

输出格式:

输出1到n的全排列。每种排列占一行，数字间无空格。排列的输出顺序为字典序，即序列a1,a2,⋯,ana_1,a_2,⋯,a_na1​,a2​,⋯,an​排在序列b1b_1b1​,b2b_2b2​,⋯,bnb_nbn​之前，如果存在k使得a1=b1,⋯,ak=bka_1=b_1,⋯,a_k=b_ka1​=b1​,⋯,ak​=bk​ 并且 ak+1<bk+1a_k+1<b_k+1ak​+1<bk​+1。

输入样例：

3

输出样例：

123
132
213
231
312
321

解题思路：

注意题目要求从小到大输出n位数字的全排列，那么我们尝试的时候就要按1~9的顺序

全排列问题采用DFS即可

以下是实现代码

#include <iostream>
using namespace std;int num_array[10] = { 0 };
bool book[10] = { 0 };
int n;void dfs(int now) {//now代表当前是左数第几位，n为总位数//递归停止条件if (now == n + 1) {for (int i = 1; i <= n; i++) {putchar('0' + num_array[i]);}putchar('\n');return;}//递归主体for (int i = 1; i <= n; i++) {//尝试1~nif (!(book[i])) {num_array[now] = i;book[i] = true;dfs(now + 1);book[i] = false;}}
}int main() {cin >> n;dfs(1);return 0;
}

如果有不明白DFS是如何实现全排列的可以接着阅读

找到n位数的全排列本质就是枚举从[10n,10n+1−110^n, 10^{n+1}-110n,10n+1−1]的所有数字

可以用n层的for循环来实现，但是for循环的层数是需要随着输入的变化而变化的，故可以采用递归实现

void dfs(int now) {//递归停止条件if (now == n + 1) {;//判断是否是全排列;//输出找到的全排列return;}//递归主体for (int i = 1; i <= n; i++) {//枚举1~ndfs(i);}
}

可以看到，这个算法的时间复杂度是o(nnn^nnn)，那么我们需要进行优化

先说明一个简单的情形：如果第一个数字是1，当第二个数字也是1的时候，就可以停止尝试，也就是常说的剪枝

根据这个思路进行优化

bool book[10] = { false };//标记出现过的数字void dfs(int now) {//递归停止条件if (now == n + 1) {//一定是一种全排列，不需要再判断;//输出找到的全排列return;}//递归主体for (int i = 1; i <= n; i++) {//枚举1~nif (!(book[i])) {//如果i没出现过book[i] = true;//标记idfs(i);book[i] = false;//不要忘记取消标记}}
}

至此，对DFS如何实现全排列的解释完成

7-2 山(C++，BFS)

题目描述：

Drizzle 前往山地统计大山的数目，现在收到这片区域的地图，地图中用0（平地）和1（山峰）绘制而成，请你帮忙计算其中的大山数目
山总是被平地四面包围着，每一座山只能在水平或垂直方向上连接相邻的山峰而形成。一座山峰四面被平地包围，这个山峰也算一个大山
另外，你可以假设地图的四面都被平地包围着。

要求:

输入：第一行输入M,N分别表示地图的行列，接下来M行每行输入N个数字表示地图
输出：输出一个整数表示大山的数目

示例:

输入：

4 5
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1

输出：

3

范围:

对于 5% 的数据：M，N ≤ 10
对于 100% 的数据：M，N ≤ 2000

解题思路：

读完题第一反应就是正面求解，也就是去寻找山的边界，然后就会发现这个思路不太可行

那么换一个思路，现在由于全球变暖导致海平面升高，平地变成了海，而山变成了平地，我们是不能在海面上走的，所以我们只能在山上走，那么我们每次都走完一座山的每一个角落，然后去找下一座山

进一步解释一下，我们已经知道的是哪个格子代表山，我们如果还能知道哪些格子已经走过，我们就能确定山的数目了

如果还不明白，可以理解为染色，我们把第一次到达的山染上"1"的颜色，第二次到达的山染上“2”的颜色……然后我们就可以知道有几座山了

实现代码如下

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;const int max_m_n = 2000;struct position {int m_x;int m_y;
};int M, N;
int map[max_m_n][max_m_n] = { 0 };//地图
bool book[max_m_n][max_m_n] = { false };//地图标记
queue<position> bfs_queue;
int step[4][2] = {//按右、下、左、上的顺序尝试{0, 1},{1, 0},{0, -1},{-1, 0}
};void bfs(int x, int y) {//初始化struct position temp_pos;temp_pos.m_x = x, temp_pos.m_y = y;bfs_queue.push(temp_pos);//队列初始化book[x][y] = true;//标记//bfs主体while (!(bfs_queue.empty())) {for (int i = 0; i < 4; i++) {//尝试四个方向temp_pos.m_x = bfs_queue.front().m_x + step[i][0];temp_pos.m_y = bfs_queue.front().m_y + step[i][1];if (temp_pos.m_x < 0 || temp_pos.m_x >= M || temp_pos.m_y < 0 || temp_pos.m_y >= N)//越界continue;if (book[temp_pos.m_x][temp_pos.m_y])//访问过continue;if (!(map[temp_pos.m_x][temp_pos.m_y]))//平地continue;bfs_queue.push(temp_pos);book[temp_pos.m_x][temp_pos.m_y] = true;//标记}bfs_queue.pop();//队首尝试完毕，出队}
}int main() {int sum = 0;cin >> M >> N;for (int i = 0; i < M; i++) {//输入地图for (int j = 0; j < N; j++) {cin >> map[i][j];}}//统计山的数目for (int i = 0; i < M; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {if (!(book[i][j]) && map[i][j]) {//未访问 && 是山bfs(i, j);sum++;}}}cout << sum;return 0;
}

7-3 跳跃（C++，DFS）

题目描述：

Drizzle 被困到一条充满数字的方块路中，假设这条路由一个非负的整数数组m组成，Drizzle 最开始的位置在下标 start 处，当他位于下标i位置时可以向前或者向后跳跃m[i]步数，已知元素值为0处的位置是出口，且只能通过出口出去，不可能数组越界，请你通过编程计算出Drizzle能否逃出这里。

要求:

输入：第一行输入数组m的长度n 第二行输入数组元素，空格分割开 第三行输入起始下标start

示例:

输入：

7
4 2 3 0 3 1 2
5

输出：

True

范围:

• 1≤m.length≤5∗1041 \leq m.length \leq 5 * 10^41≤m.length≤5∗104
• 0≤m[i]<m.length0 \leq m[i] < m.length0≤m[i]<m.length
• 0≤start<m.length0 \leq start < m.length0≤start<m.length

解题思路：

题意可以理解为搜索路径，故用DFS来实现

好像很简单，但是我们实现过程中会发现问题：如何递归

考虑一下我们来到一个格子后有几种情况：

(1)已经走过

(2)未走过：未走过又可以分为两种情况：<1>找到出口 <2>未找到

继续思考，我们每来到一个格子需要进行两次判断，那么有如下几种情况

(1)两侧均已经走过

(2)至少有一侧未走过

所有情况都考虑完毕了，现在我们知道dfs结束条件只有两个

(1)两侧均已经走过

(2)找到出口

第一种情况返回0，第二种情况返回1即可

完整的实现代码如下

#include <iostream>
using namespace std;int n;
int num_array[500] = { 0 };
bool book[500] = { false };//标记，注意本题dfs无需取消标记，可以自行思考为什么bool dfs(int now) {//now为当前格子的索引if (num_array[now] == 0)//找到出口return 1;if (now + num_array[now] < n && !(book[now + num_array[now]])) {//未越界 && 未走过book[now + num_array[now]] = true;//标记if (dfs(now + num_array[now]))return 1;//找到出口，连续返回，不需要继续尝试}if (now - num_array[now] >= 0 && !(book[now - num_array[now]])) {//未越界 && 未走过book[now - num_array[now]] = true;//标记if (dfs(now - num_array[now]))return 1;//找到出口，连续返回，不需要继续尝试}return 0;//两侧均走过
}int main() {int start;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++)//读入数组cin >> num_array[i];cin >> start;//读入起始索引if(dfs(start))cout << "True";elsecout << "False";return 0;
}

7-4 最长光路（C++，DFS）

题目描述：

小明在做丁达尔效应的实验。
他用胶体填满了一个有 N 行, M 列个格子的透明盒子。同时，为了使实验效果更好，他在盒子的某些格子中装入一些双面镜(用“/”和“\”表示)。
当光线找到双面镜的时候，光路会反射，方向会有90度的转换（如下图所示）。

小明在填充胶体的时候产生了失误，使得有些格子光线无法穿过（我们可以认为这些格子把光线都吸收了），这些格子用大写字母“C”来表示。

现在，小明已经制作好了实验装置，他将激光光源放在第sxs_xsx​行的第sys_ysy​个格子上。激光光源可以朝向上下左右四个方向，分别用URDL四个字母表示(“U”-上, “R”-右, “D”-下, “L”-左)。

为了让实验效果更好，小明希望光的光路越酷越好。
对小明来说，最酷的光路就是包含环的光路，这种情况下，光不会射向盒子外面，而是一直在盒子内循环（数据保证光源处的点是光线可以通过，即起点一点是"."）。
如果光源朝各个方向摆设，最终光线都会射向盒子外部，那么小明认为经过格子最多的光路是最酷的。

现在小明想知道光源朝哪个方向放置光路最酷。
如果光路是不包含环的，那么他还想知道光路经过的格子数目是多少。

注意

如果有多个方向是最优解，那么我们按照“U”-上, “R”-右, “D”-下, “L”-左的优先级来选择最终的答案，即如果向左和向右都是最优解，我们选择向右的方案。

同时，温馨提醒，c++中“\”符号可以用'\\'来表示

输入格式:

第一行两个数 N,M(1≤N,M≤500) 表示有N 行 M 列的格子。
接下来 N 行, 每行 M 个字符，表示盒子的具体情况。 “/”和“\”表示装有不同朝向的镜子的格子。“C”表示光线无法通过的格子。“.”表示正常且没有镜子的格子。
最后输入两个数字sx,sys_x,s_ysx​,sy​表示光源所在的点。

输出格式:

第一行输出一个大写字母，表示最酷的光路应该超哪个方向摆放。
第二行输出光路经过的格子数。如果光路中包含环，则换成输出字符串“COOL”。

输入样例1:

5 5
../.\
.....
.C...
...C.
\.../
3 3

输出样例1:

U
17

输入样例2：

5 7
/.....\
../..\.
\...../
/.....\
\.\.../
3 3

输出样例2

R
COOL

样例解释

S为起点
../.\
.....
.CS..
...C.
\.../'U' 方向
*.***
*.*.*
*C*.*
*..C*
*****
17个格子'R'方向
../.\
.....
.C***
...C.
\.../
3个格子'D'方向
../.\
.....
.C*..
..*C.
\.*./
3个格子'L'方向
../.\
.....
.C*..
...C.
\.../
1个格子

解题思路：

（1）光的传播方向：

我们把光定义出四种状态：向上/右/下/左传播

地图上的双面镜有两种状态：‘\\‘和’/’

我们可以根据这两种状态对光的传播方向进行改变

（2）闭环判断：

充分必要条件是再次回到起点，且传播方向与初始状态相同

（3）DFS终止条件：

<1>越界

<2>闭环

<3>被吸收（‘C’)

此外，由于DFS无返回后操作，可以用while循环实现

实现DFS的大致思路：光传播一格，然后进行判断

代码实现如下

#include <iostream>
using namespace std;int toward[4][2] = {//上、右、下、左{-1, 0},{0, 1},{1, 0},{0, -1}
};
string map[500];int main() {int N, M, start_x, start_y, max_sum = 0, max_light = 0;cin >> N >> M;for (int i = 0; i < N; i++)cin >> map[i];cin >> start_x >> start_y;for (int i = 0; i < 4; i++) {//尝试四个方向int light = i, cur_x = start_x - 1, cur_y = start_y - 1, sum = 1;//注意：修改起始下标，并且起点也算格子while (true) {cur_x += toward[light][0];cur_y += toward[light][1];sum++;if (cur_x == start_x - 1 && cur_y == start_y - 1 && light == i) {//COOL!switch (i){case 0:putchar('U');break;case 1:putchar('R');break;case 2:putchar('D');break;case 3:putchar('L');break;default:break;}putchar('\n');cout << "COOL";return 0;}if (cur_x < 0 || cur_x >= N || cur_y < 0 || cur_y >= M) {//出界sum--;break;}else if (map[cur_x][cur_y] == '.')//正常传播continue;else if (map[cur_x][cur_y] == 'C') {//吸收sum--;break;}else if (map[cur_x][cur_y] == '\\') {switch (light)//改变传播方向{case 0://光向上传播light = 3;//转向左break;case 1://光向右传播light = 2;//转向下break;case 2://光向下传播light = 1;//转向右break;case 3://光向左传播light = 0;//转向上break;default:break;}}else if (map[cur_x][cur_y] == '/') {switch (light)//改变传播方向{case 0://光向上传播light = 1;//转向右break;case 1://光向右传播light = 0;//转向上break;case 2://光向下传播light = 3;//转向左break;case 3://光向左传播light = 2;//转向下break;default:break;}}}//尝试结束if (max_sum < sum) {max_sum = sum;max_light = i;}}switch (max_light){case 0:putchar('U');break;case 1:putchar('R');break;case 2:putchar('D');break;case 3:putchar('L');break;default:break;}putchar('\n');cout << max_sum;return 0;
}

7-5 回文数文回

题目描述：

我们称一个数是回文的，当且仅当它正着读和倒着读是相同的。

例如11或11455411是回文的，而10或1919810不是回文的。

现在给定一个数n，你需要求出区间[10810^8108,n]中所有的回文数。

输入格式:

一行一个整数n(108≤n<10910^8≤n<10^9108≤n<109)

输出格式:

输出一行一个数，表示题目所求区间中回文数的数量。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

100000001

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

1

解题思路：

题中给出了回文数的固定长度为9，由于回文数是对称的，我们只需要考虑前5个符号的序列即可

将前5个符号看做一个整数，每一个整数都对应着一个序列

如果输入的n是2345671991的话，在前五个数=23456之前，不可能有大于n的整数

那么我们只需要判断234565432是否符合题意即可

如果我们采用如下的方式

while(left < right) {if (str[left] > str[right]) {sum--;break;}left++, right--;//从两侧向中间
}

很快就会发现问题，按这个判断算法，234565432是不符合题意的

那么我们修改一下

while(left >= 0 && right <= 8) {if (str[left] > str[right]) {sum--;break;}left--, right++;//从中间向两侧
}

显然，234565432仍然不符合题意，因为4 > 1

我们会发现，不能单独看每一个符号，因为它们是一个整数

所以正确的判断算法如下

reverse(&str[0], &str[0] + 4);
stoi(str.substr(0, 4)) > stoi(str.substr(5, 9)) ? int_n-- : int_n;

注意只能反转前4位，可以想一想为什么反转前5位会出现问题

本题完整的实现代码如下

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;int main() {string n;int int_n;cin >> n;int_n = stoi(n.substr(0, 5));reverse(&n[0], &n[0] + 4);stoi(n.substr(0, 4)) > stoi(n.substr(5, 9)) ? int_n-- : int_n;cout << int_n - 1e4 + 1;return 0;
}

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