动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串（python）

1. 最长公共子序列（LCS）

1.1 问题描述

1.2 思路

利用动态规划。

下一步就要找到状态之间的转换方程。

因此可以根据这个方程来进行填表，以"helloworld"和“loop”为例：

1.3 Python代码

def LCS(string1,string2):len1 = len(string1)len2 = len(string2)res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)]for i in range(1,len2+1):for j in range(1,len1+1):if string2[i-1] == string1[j-1]:res[i][j] = res[i-1][j-1]+1else:res[i][j] = max(res[i-1][j],res[i][j-1])return res,res[-1][-1]
print(LCS("helloworld","loop"))
# 输出结果为：
[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2],[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3],[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3]], 3

所以"helloworld"和"loop"的最长公共子序列的长度为3。

1.4 找到具体的子序列

下面的内容借鉴了博主Running07的博客动态规划最长公共子序列过程图解

如果有两个字符串如下：
S1 = “123456778”
S2 = “357486782”
其最终的动态规划填表结果为：

其中S1和S2的LCS并不是只有1个。
我们根据递归公式：

构建了上表，
通过递推公式，可以看出，res[i][j]的值来源于res[i-1][j]或者是res[i-1][j]和res[i][j-1]的较大值（可能相等）。
我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
res[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，res[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为res[8][8] > res[7][9])。
res[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，res[8][8]的值来源于 res[7][7]。
以此类推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且res[i-1][j] = res[i][j-1] 这种存在分支的情况，这里都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向，要么都往左，要么都往上）。

可得S1和S2的LCS为{3、5、7、7、8} 这是遇见相等的时候，统一往左走
S1和S2之间还有一个LCS 这是遇见相等的时候，统一往上走：

可得S1和S2的LCS为{3、4、6、7、8}

2. 最长公共子串

2.1 问题描述

2.2 思路

和最长公共子序列一样，使用动态规划的算法。
下一步就要找到状态之间的转换方程。
和LCS问题唯一不同的地方在于当A[i] != B[j]时，res[i][j]就直接等于0了，因为子串必须连续，且res[i][j] 表示的是以A[i]，B[j]截尾的公共子串的长度。因此可以根据这个方程来进行填表，以"helloworld"和“loop”为例：

这个和LCS问题还有一点不同的就是，需要设置一个res，每一步都更新得到最长公共子串的长度。

2.3 Python代码

def LCstring(string1,string2):len1 = len(string1)len2 = len(string2)res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)]result = 0for i in range(1,len2+1):for j in range(1,len1+1):if string2[i-1] == string1[j-1]:res[i][j] = res[i-1][j-1]+1result = max(result,res[i][j])  return result
print(LCstring("helloworld","loop"))
# 输出结果为：2

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