最长上升子序列LIS

题目链接：AcWing895. 最长上升子序列

这里只说明 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的解法， O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)解法之前的博客有介绍
O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的解法较为容易理解

状态表示：
这里状态用一维表示，dp[i]表示以b[i]作为结尾的最长子序列的长度状态转移：
遍历b[i]前的所有元素,找出最长的以b[i]结尾的最长子序列长度
for(int j=0;j<i;j++)if(b[j]<b[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)

代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010;
int b[N];
int dp[N];
int main(){int n,res=0;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);b[0]=-0x3f3f3f3f;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<i;j++)if(b[i]>b[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);res=max(res,dp[i]);}cout<<res;return 0;
}

最长公共子序列LCS

题目链接:AcWing897. 最长公共子序列

状态表示：
状态用二维表示，dp[i][j]表示A[1~i],B[1~j]的最长公共子序列状态转移：
if(A[i]==B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;//最长公共子序列增长一位
else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);//从两种情况中选择长的一种传递

代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010;
int dp[N][N];//dp[i][j]表示A[1~i]与B[1~j]最长公共子序列
char A[N],B[N];
int main(){int n,m;cin>>n>>m;cin>>A+1>>B+1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)if(A[i]==B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);cout<<dp[n][m];return 0;
}

最长公共上升子序列LCIS

AcWing272. 最长公共上升子序列

这里我们考虑将上面的LIS和LCS结合

状态表示：
状态用二维来表示
dp[i][j]表示A[1~i]与B[1~j]且以B[j]，结尾的最长公共上升子序列长度状态转移：if(A[i]!=B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j];else {int t=0;for(int k=1;k<j;k++)if(B[k]<B[j]) t=max(t,dp[i][k]);dp[i][j]=t+1;
}
当A[i]!=B[j]时，状态从dp[i-1][j]转移来
当A[i]==B[j]时，我们要考虑将B[j]前面求出的最长公共上升子序列中的哪个子序列之后，所以需要遍历前面所有的子序列(A[i]与B[1~k],k<j匹配的子序列)

代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=3010;
int A[N],B[N];
int dp[N][N];//dp[i][j]表示A[1~i]与B[1~j]且以B[j]，结尾的最长公共上升子序列int main(){int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&A[i]);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&B[i]);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)if(A[i]!=B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j];else {int t=0;for(int k=1;k<j;k++)if(B[k]<B[j]) t=max(t,dp[i][k]);dp[i][j]=t+1;}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dp[n][i]);cout<<res;return 0;
}

我们可以发现这里的时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)，能处理的数据范围很小
我们可以对上面的代码进行优化，
其中

if(B[k]<B[j]) t=max(t,dp[i][k]);
此处的B[j]==A[i],所以可以写成
if(B[k]<A[i]) t=max(t,dp[i][k]);
我们要找到最大的B[k]，可以提前将max(B[k])求出来

将下面代码优化

    for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)if(A[i]!=B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j];else {int t=0;for(int k=1;k<j;k++)if(B[k]<B[j]) t=max(t,dp[i][k]);dp[i][j]=t+1;}}

可以在遍历B[1~j]中求出B[k]<A[i]时的最大的dp[i][k]

    for(int i=1;i<=n;i++){int t=0;for(int j=1;j<=n;j++){if(A[i]!=B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j];else dp[i][j]=t+1;if(A[i]>B[j]) t=max(t,dp[i][j]);}}

代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=3010;
int A[N],B[N];
int dp[N][N];//dp[i][j]表示A[1~i]与B[1~j]且以B[j]，结尾的最长公共上升子序列int main(){int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&A[i]);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&B[i]);for(int i=1;i<=n;i++){int t=0;for(int j=1;j<=n;j++){if(A[i]!=B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j];else dp[i][j]=t+1;if(A[i]>B[j]) t=max(t,dp[i][j]);}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dp[n][i]);cout<<res;return 0;
}

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