莫队算法+带修莫队+回滚莫队
莫队算法
本质上。。似乎是大暴力。。。
##传说中能解决一切区间问题的算法
如果我们**知道区间[L,R][L,R][L,R],就能在比较短的时间内求出[L−1,R],[L+1,R],[L,R−1],[L,R+1][L-1,R],[L+1,R],[L,R-1],[L,R+1][L−1,R],[L+1,R],[L,R−1],[L,R+1]**的话,那就可以用莫队算法了。
有一种经典的问题:给你一些不带修改的区间询问,要求快速回答
显然,有一些我们可以通过线段树来完成,因为线段树是O(NlogN)O(NlogN)O(NlogN)的
但是,线段树有的东西是维护不了的。
看一个例子
给你一个数列,若干询问,要求回答区间内同种颜色的数量。
线段树很难做,怎么办?
用莫队算法!
莫队算法的实质是通过将询问排序,每个询问均由前一个询问(排序后的)转移得来,通过一定的排序优化时间复杂度。往往可以有O(NN)O(N\sqrt N)O(NN)的效果
回到题目
显然对于两次询问L,RL,RL,R和L′,R′L',R'L′,R′,知道了L,RL,RL,R的答案,就可以暴力计算∣L−L′∣+∣R−R′∣|L-L'|+|R-R'|∣L−L′∣+∣R−R′∣次得出L′,R′L',R'L′,R′的答案。
∣L−L′∣+∣R−R′∣|L-L'|+|R-R'|∣L−L′∣+∣R−R′∣。也就是曼哈顿距离
把每个询问看作是二维平面上的点,那么我们的最小总时间,就是这些点的最小曼哈顿距离生成树, 按照这个树的顺序做,复杂度变成了O(NN)O(N\sqrt N)O(NN)(为什么?),而且这个生成树连边也有特别的技巧,可以去看莫队在知乎上推荐的那篇。https://zhuanlan.zhihu.com/p/25017840
然而这样有一点猥琐
有一个优美方便简洁好理解的替代品
分块大法好!
把整个序列分块,把LLL按照所在块的顺序为第一关键字,把RRR(RRR本身!)为第二关键字排序。
为什么要分块不能直接排呢?
分块很好的减少了一种情况的影响。
L<L′<L′′L<L'<L''L<L′<L′′,并且距离很近,但是R′<R<R′′R'<R<R''R′<R<R′′,并且R′R'R′与另外两个离得很远。如果直接按LLL排序就会浪费非常多的时间。
由于每个块的大小是N\sqrt NN
分块使得两个询问之间差异平均到了L,RL,RL,R上。
因此,理论复杂度大约是O(NN)O(N\sqrt N)O(NN),实际上是O(O(O(玄学??跑的过就行)))(假设询问数与序列长度同阶)
带上了修改,怎么办?
然后我们继续分块。
把二元组L,RL,RL,R变成三元组L,R,xL,R,xL,R,x。xxx是这次询问在修改第几次后。
然后把RRR所在块看作第二关键字,xxx看作第三关键字排序即可。
转移时直接恢复(或删除)两次询问之间的修改。如果在区间内还要计算对答案的影响
然而修改的复杂度不同
最优分块方式是每块N23N^{2\over 3}N32,总共N13N^{1\over 3}N31块
左指针移动N∗N23=N53N*N^{2\over 3}=N^{5 \over 3}N∗N32=N35次
右指针移动N∗N23=N53N*N^{2\over 3}=N^{5 \over 3}N∗N32=N35次
修改指针移动(N13)2∗N=N53{(N^{1\over 3})}^2*N=N^{5 \over 3}(N31)2∗N=N35次
总复杂度N53N^{5 \over 3}N35
在实际操作中,有时取一些什么n∗10\sqrt n*10n∗10之类的奇葩的数可能更快
有一道板题
http://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/51880644
回滚莫队(仅插入无需删除)
有时候我们需要处理一些特殊情况,例如维护区间最大最小值。
加入的时候我们很好处理,但删除就不知道该怎么办了。
此时就需要一些处理技巧。
我们仍然对于询问排序,将序列分块,第一关键字为左端点所在块的位置,第二关键字为右端点位置。
对于询问左端点在同一块的情况,右端点是有序的,但左端点可能在这块中是无序的,那么我们直接将左端点定在这一块的右端,由于询问右端点是单调递增的,右端点可以不断向后扩展,碰到一个询问,我们就将当前左端点暴力移到询问的左端点,计算答案,再暴力移回当前块的右端。
可能有疑惑:这不是一样需要删除吗?
其实不然,我们可以在左移前保存状态,计算完直接恢复。或者在每个位置记录在哪里修改了,原状态是什么,回滚的时候将修改撤销即可。
与普通莫队相比,每一个询问我们仅仅是左端点多移了不超过一个块的距离,因此总复杂度仍然是mnm\sqrt nmn的,非常优秀!
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