拉丁超立方——样本点空间转换

由拉丁超立方原理可知，在使用拉丁超立方采样采集的样本点的取值范围都在[0,1]区间内，而在实际问题中，设计变量的取值范围并不一定会在[0-1]区间内，为了保持在[0,1]区间内拉丁超立方采集的样本点的空间分布不变，如何将样本点转换到实际空间。

由于样本点每一维都是独立的，因此只分析一维，多维可以直接扩展矩阵。假设样本点在[1,5]区间需要转换到[5,10]区间，且一个样本点x在[1,5]区间取值是2。

一种方法是从取值范围左端点处考虑，可知这个样本点在[1,5]区间占比(2-1)/(5-1)=1/4，因此该样本点转换后在[5,10]空间也应该占比1/4，因此转换后的位置为5+(10-5)*(1/4)。另一种方法则从取值范围右端点处考虑，在[1,5]空间内x离右端点距离占比(5-2)/(5-1)=3/4，因此准换到[5,10]后距离右端点10的距离占比也应该是3/4，因此转换后的位置为10-(10-5)*(3/4)。

下面列出根据这个思想写的matlab代码

x是样本点矩阵，fromdomain是转换前所在的空间取值范围，toDomain是转换后所在空间取值范，这个srgtScaleVariable函数是根据取值范围右端点出考虑的方法。

function [xstar] = srgtsScaleVariable(x, fromDomain, toDomain)[npoints, ndv] = size(x);rangeFrom = fromDomain(2,:) - fromDomain(1,:);   %两个空间的范围值rangeTo   = toDomain(2,:)   - toDomain(1,:);a = rangeTo./rangeFrom;
b = toDomain(2,:) - a.*fromDomain(2,:);xstar  = zeros(npoints, ndv);for counter01 = 1 : npoints% mappingxstar(counter01,:) = a.*x(counter01,:) + b;% make sure that points in the lower bound will not suffer with MATLAB% precision% 检查样本点是否是端点处mask = x(counter01,:) == fromDomain(1,:); % detects if point has any variable in the lower boud，逻辑值xstar(counter01,:) = mask.*toDomain(1,:) + ...(~mask).*xstar(counter01,:);  %如果是的话，则转换后在转换后的空间端点处，否则是上面表达式值。% make sure that points in the upper bound will not suffer with MATLAB% precisionmask = x(counter01,:) == fromDomain(2,:); % detects if point has any variable in the upper boudxstar(counter01,:) = mask.*toDomain(2,:) + ...(~mask).*xstar(counter01,:);endreturn

x是输入样本点，normspace是当前空间取值范围，signspace是转换后的空间取值范围。Scalevariable函数是根据从取值范围左端点处考虑的方法。

function [x_end] = ScaleVariable(x, normspace, signspace)
[npoints,ndv]=size(x);
a=normspace(2,:)-normspace(1,:);
b=signspace(2,:)-signspace(1,:);x_end=zeros(npoints,ndv);
for i=1:npointsx_end(i,:)=(((x(i,:)-normspace(1,:))./a).*b)+signspace(1,:);
end
return

检查两种方法

clear
clcphysicalspace = [-5  0;  % lower bound10 15]; % upper boundnormalizedspace = [0  0; % lower bound1  1]; % upper bound% create points in the normalized space
P = [0.0  0.00.5  0.51.0  1.00   01   1];% map P to the physical space
X = srgtsScaleVariable(P, normalizedspace, physicalspace)
X1= ScaleVariable(P, normalizedspace, physicalspace)

两种方法的对比结果

拉丁超立方采样后的样本转换到实际空间

clear
clcnpoints=10;  %样本点数
ndv=2;  %维数
LHS = srgtsDOELHS(npoints, ndv);  %拉丁超立方采样
physicalspace = [-5  0;  % lower bound10 15]; % upper boundnormalizedspace = [0  0; % lower bound1  1]; % upper bound% map LHS to the physical space
X = srgtsScaleVariable(LHS, normalizedspace, physicalspace);
subplot(1,2,1);
scatter(LHS(:,1),LHS(:,2),'filled');
subplot(1,2,2);
scatter(X(:,1),X(:,2),'filled');

拉丁超立方函数代码

function LH = srgtsDOELHS(npoints, ndv)LH = [];for c2 = 1 : ndvLH = [LH, randperm(npoints).'];
endLH = srgtsScaleVariable(LH, ...[ones(1,ndv); npoints*ones(1,ndv)], ...[zeros(1,ndv); ones(1,ndv)]);return

拉丁超立方采样转换到实际空间后的分布对比，可以看到并没有影响空间分布性。

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