【数学史】大富翁的概率
玩转《地产大亨》
“我们玩桌游吧。不想下棋，你老赢。也不想玩哆宝，我可不想再听你说一个小时什么射影平面。我们玩地产大亨吧？怀旧一下。反正都是靠运气，不可能总是你赢吧。”
* * *
你也许还不知道，这就好像打开了潘多拉魔盒。《地产大亨》这个游戏能把人性的阴暗面都展现出来：贪得无厌、背信弃义、尔虞我诈……简直天地难容。
《地产大亨》体现的不仅仅是“万恶的资本主义”，这个游戏既要凭运气，也要靠策略。而要采取更好的策略，就要了解个中玄机。买下所有蓝色地产，还是靠着橙色格飞黄腾达？只买下自来水公司能让你走上人生巅峰吗？买了广州，但怎么没人来呢？为什么一直会经过杭州呢？
哪些格最常经过？
不管你玩的是中国版、欧洲版、皮卡丘版还是AC/DC摇滚乐队版，棋盘都差不多：40格围成正方形，共8组22处地产、4个火车站、2个公共事业公司、4个机会格、4个社会基金格和其余7个或好或坏的格子——起点、交税、坐牢等（表13.1）。与20世纪初伊丽莎白·马吉发明它时相比，这款游戏已有些不同。那时它不叫《地产大亨》，而是叫《地主游戏》，意在揭露地主们如何囤积土地、发家致富，而让租客们穷困潦倒。原始版本已有8组22处地产，但还没有火车站和社会基金格，探监格在那时是“煤炭税”。此后，查尔斯·达罗改进了《地主游戏》的棋盘，从1935年流传至今。帕克兄弟公司一开始有所迟疑，但最终还是推出了达罗改进的游戏，不料一炮打响。
表13.1 《地产大亨》经典中国版的40个格子
[插图]
各种棋盘版本和最初授权版的棋盘基本一致，都是22处地产，颜色相同为一组，每组两三个。
从20世纪30年代至今，游戏规则没有什么改变，依然是靠着多买地，让对手破产。如果能买齐一种颜色的所有地产，其回报比分散地产高得多。但买下所有地产几乎不可能，所以要选高回报的地产。
我们可以从多种角度分析游戏，比如每一格的投资回报比，从而确定哪一格最值得购买。不过，就算上海比南昌的投资回报更高，对手经过两处地产的概率也大不相同。首先，我们要确定玩家走到每一格的概率。1994年，三位法国数学家塞巴斯蒂安·费伦齐、雷米·若丹和布丽吉特·莫塞在《方圆》（Quadrature）杂志上发表了计算走到每格概率的方法。
游戏开始！
玩家将棋子（小车、鞋子、小狗等）置于起点，然后掷骰子。游戏过程中，几个玩家可以同处一格，互不影响。下面只考虑一个玩家，比如你的对手。
第一次掷骰子之后，他会到哪里呢？《地产大亨》用两个骰子，点数相加即步数。假设骰子完美，36种点数组合出现的概率相等（都为1/36）。点数组合（1，1）出现的概率为1/36，即走到第1个社会基金格（第3格）的概率是1/36。到第4格南京要掷出（1，2）或（2，1），概率都是1/36，于是一次就走到并买下这处地产的概率为2/36。同理可得，点数和为4、5、6、7、8、9、10、11、12的概率分别为3/36、4/36、5/36、6/36、5/36、4/36、3/36、2/36和1/36。于是，对手在第一轮掷骰子时走到各个格子的概率也就确定了（图13.2），其中概率最大的是第8格——机会格。
才掷了一次骰子，游戏还要继续。下面计算第二次掷骰子到达第7格沈阳的概率，各种情况都要考虑在内。如果对手从第3格社会基金格出发，需要骰子点数相加为4（概率为3/36）。而第一轮到第3格的概率为1/36，两次掷骰子互相独立（第一次不影响第二次），所以，第二次掷骰子从第3格到第7格的概率为1/36×3/36。对手也可以从第4格南京出发（之前到第4格概率为2/36），骰子点数和为3（概率为2/36）。或者，对手从第5格所得税出发（到第5格概率为3/36），骰子点数和为2（概率为1/36）。总之，第二次掷骰子共有3种方法到第7格，总概率为1/36×3/36+2/36×2/36+3/36×1/36，计算结果是5/648，约为0.77%，概率很低。同理可得，第二轮到达第6格重庆站的概率为1/36×2/36+2/36×1/36，结果是1/324，约为0.30%，概率也不高。以此类推，对手在第二轮到达每一格的概率都可算出（图13.1）。
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