知道邻边和斜边求角度_从数学史角度看数系发展
主要内容:主要谈数系的发展,从数系扩展或者历史角度来谈。主要涵盖:自然数、整数、有理数、无理数、代数数、超越数、实数等。各类数集应包含各类别的定义、数的性质等。
数学史的发展,伴随着数系的扩展。随着时间的推移,新的“数”不断被提出,用以完善数学理论。个体的成长重演着人类的发生,我们都有过扳手指头算术的经历,但谁能够想象在原始社会或者在非洲某个部落里面,一个人能够数到三就是很大荣耀。本科课程学完,我们应该已经达到了科学发展到二十世纪的水平。这就是神奇的历史。
个体成长重演着人类历史的发生,因此我们也重演了数系的发展。四五岁的儿童,可能能够数十个以内的数,甚至某些数还分不清楚。到了七岁的时候,可能就认识了自然数,当然里面包括了零。伴随着小学教育,减法运算的引入,使得他们可以从亏欠的角度理解负数,比如 1 减去 3 是-2。而接触负数,实际上他们已经能够在整数里面理解问题。二年级的时候,学会了乘法,要背九九乘法表,认识的数不断扩充,但仍是在整数范围之内。三年级的时候,要学习除法,这时候面临着一个问题,就是除不尽的问题,比如七个苹果三人分怎么办?于是不得不接触分数,实际上就是有理数。有理数就是这种分数,可以写成
进而初中,我们开始接触几何。其中一个非常著名的定理就是勾股定理,即直角三角形的直角边 a,b,和斜边 c 满足
无理数的发现丰富了数系。但无理数到底有多少,它们有什么性质却不清楚。进而,有理数与无理数构成了实数,那实数的性质也是不明晰。伴随着学习内容的发展,从高中开始我们接触导数、微分。而导数和微分的学习,必须在实数域中进行,因此就有必要完善实数理论,其中就包括实数构造规则,实数的性质等。
事实上,有理数和无理数构成了实数。实数是否有其他的分类方式?这个问题的回答是有的。在 18 世纪后期,勒让德的著作中提到了代数数,即一个实数如果是某个具有整系数的多项式方程的解,便称之为代数数。比如代数方程
除此之外,数系还应该包括虚数、复数、四元数、八元数等。其中复数在电磁学领域运用的非常广泛。而四元数、八元数等只在非常狭小的领域中有用处。当然,我们可以按照这些数的构造法则自己来构造数。
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