昨天刷力扣认识的这个数据结构，原题在这里。记录一下力扣https://leetcode.cn/problems/my-calendar-iii/

例题

给定数组[1, 2, 3, 4, 5, ....]，编写函数来返回数组任意区间元素的和

朴素的想法

直接把每个元素相加，时间复杂度为O(n)，n是区间长度

def getSum(arr, start, end):val = 0for i in range(start, end + 1):val += arr[i]return val

前缀和算法

前缀和是一种常用的、较为高效的预处理方式。能够有效降低查询的时间复杂度。前缀和可以理解为数组前项的和。查询的时间复杂度为O(1)

class PartialSumArr:def __init__(self, arr):val = 0self.partialSumArr = []for i in arr:val += iself.partialSumArr.append(val)def getSum(self, start, end):if start == 0:return self.partialSumArr[end]return self.partialSumArr[end] - self.partialSumArr[start-1]partialSumArr = PartialSumArr([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
print(partialSumArr.partialSumArr)
print(partialSumArr.getSum(0, 4))
print(partialSumArr.getSum(3, 6))>>>[1, 3, 6, 10, 15, 21, 28]
15
22

新的问题

如果要修改数组中某一项，即更新数组。

对于方法一：更新的时间复杂度为O(1)；

对于方法二：更新的时间复杂度为O(n)，因为需要把前缀和数组中这个元素之后每个元素都更新一遍

如果要实现区间更新呢？

对于方法一：更新的时间复杂度为O(n)；n为区间大小

对于方法二：更新的时间复杂度为O(m*n),m为区间最右下标位置距离数组最右距离，n为区间长度

线段树

线段树是一种数据结构，可以有效地对数组进行范围内的查询，同时可以足够灵活地修改数组。

给定一个数组(arr)，编写函数来求其任意区间元素和

建树

这是根节点

通过求两个下标的平均值来确定其子节点

同理

至此我们的树就建立好了，下面创建一个数组(nodes)来储存树的节点。当父节点为node[index]时，我们把它的子节点放在node[index * 2]和node[index * 2 + 1]位置。我们通常把根节点放在下标1的位置。如下图，数组里0, 4表示下标0～4的元素和，这么写方便和上面树图对比

替换成对应值

对应代码:

class SegmentTreeSum:def __init__(self, arr):self.arr = arrself.nodes = [0] * len(arr) * 2self.construct(1, 0, len(arr) - 1)def construct(self, index, left, right):# left = right，确定节点if left == right:self.nodes[index] = self.arr[left]else:mid = (left + right) // 2  # 取整# 递归先确定子节点，再把子节点值相加获取该节点的值self.construct(index * 2, left, mid)  # 左节点self.construct(index * 2 + 1, mid + 1, right)  # 右节点self.nodes[index] = self.nodes[index * 2] + self.nodes[index * 2 + 1]  segmentTreeSum = SegmentTreeSum([1, 2, 3, 4, 5])
print(segmentTreeSum.nodes)>>>[0, 15, 6, 9, 3, 3, 4, 5, 1, 2]

查询

index表示nodes下标，start和end表示查询区间，left和right表示nodes[index]表示的区间范围

def findSum(index, start, end, left, right):
从根节点开始查询：findSum(1, start, end, 0, len(arr)-1)

查询需要考虑三种情况

1. [start, end]在[left, right]之外，没有符合元素，返回0

2. [start, end]和[left, right]表示区间相同，直接返回nodes[index]

3. [start, end]和[left, right]表示区间不同

比如我们从根节点开始查询，两个区间不同，接下来通过递归对两个子树进行查询，再把它们结果相加

下图可见，两个区间不同，继续递归

下图可见，查询区间超出范围,right = 1 < start = 2，返回0

查询另一个子树，区间不同，但是该节点没有子树无法继续递归

同理当查询到(3, 3)和(4, 4)节点时也虽然满足条件，但也无法继续递归。我们发现把这三个节点相加得到的数就是我们需要的[2, 4]区间元素和。所以当left = right即没有子树时，我们返回nodes[index]

代码部分：时间复杂度为O(logN)

class SegmentTreeSum:...def getSum(self, start, end):return self.findSum(1, start, end, 0, len(self.arr) - 1)def findSum(self, index, start, end, left, right):if end < left or start > right:return 0elif left == right:return self.nodes[index]else:if start == left and end == right:return self.nodes[index]mid = (left + right) // 2leftNode = self.findSum(index * 2, start, end, left, mid)rightNode = self.findSum(index * 2 + 1, start, end, mid + 1, right)return leftNode + rightNodesegmentTreeSum = SegmentTreeSum([1, 2, 3, 4, 5])
print(segmentTreeSum.getSum(2, 4))

单点更新

i表示原数组arr更新下标

def change(index, i, val, left, right):
从根节点开始查询：findSum(1, start, end, 0, len(arr)-1)

和查询类似

1. left = i 且 right = i，说明找到该节点，直接更新 nodes[index] = val

2. i < left or i > right，超出范围

3. 没有超出范围，递归更新子树

代码部分：时间复杂度为O(logN)

class SegmentTreeSum:...def update(self, i, val):self.change(1, i, val, 0, len(self.arr) - 1)def change(self, index, i, val, left, right):if left == i and right == i:self.nodes[index] = valelif i < left or right < i:returnelse:mid = (left + right) // 2self.change(index * 2, i, val, left, mid)self.change(index * 2, i, val, mid + 1, right)self.nodes[index] = self.nodes[index * 2] + self.nodes[index * 2 + 1]segmentTreeSum = SegmentTreeSum([1, 2, 3, 4, 5])
print(segmentTreeSum.nodes)
segmentTreeSum.update(2, 6)
print(segmentTreeSum.nodes)>>>[0, 15, 6, 9, 3, 3, 4, 5, 1, 2]
[0, 18, 9, 9, 6, 3, 4, 5, 1, 2]

区间更新（lazy算法）

所谓lazy算法就是在更新时，只更新要求更新的这一段，而不更新他的子节点。当我们要访问他的子节点时，我们才去更新他的值。这样我们就能减少很多更新的次数，从而减少时间。

创建lazy数组

        self.lazy = [0] * len(arr) * 2

val是区间内每个元素增加的值

def changeRange(self, index, start, end, left, right, val):

和上面情况类似

1. [start, end]在[left, right]之外，不用进行操作

2. [start, end]和[left, right]表示区间相同，只更新nodes[index]和lazy[index]，不用把区间内每个元素都更新。

3. [start, end]和[left, right]表示区间不相同，递归子节点

写到这里我感觉我已经把线段树看透了，写上面的时候还有一知半解的地方。突然感觉这东西这么简单真的需要人教吗？不废话了，直接上代码。时间复杂度O(logN)

class SegmentTreeSum:...self.lazy = [0] * len(arr) * 2...def updateRange(self, start, end, val):self.changeRange(1, start, end, 0, len(self.arr) - 1, val)def changeRange(self, index, start, end, left, right, val):if end < left or start > right:returnelif start == left and end == right:self.nodes[index] += (end - start + 1) * valself.lazy[index] += valelse:if left == right:self.nodes[index] += valself.lazy[index] += valreturnmid = (left + right) // 2self.changeRange(index * 2, start, end, left, mid, val)self.changeRange(index * 2 + 1, start, end, mid + 1, right, val)self.nodes[index] = self.nodes[index * 2] + self.nodes[index * 2 + 1]segmentTreeSum = SegmentTreeSum([1, 2, 3, 4, 5])
print(segmentTreeSum.nodes)
segmentTreeSum.updateRange(0, 4, 3)
print(segmentTreeSum.nodes)>>>[0, 15, 6, 9, 3, 3, 4, 5, 1, 2]
[0, 30, 6, 9, 3, 3, 4, 5, 1, 2]

需要注意的地方

我们看这段测试

segmentTreeSum = SegmentTreeSum([1, 2, 3, 4, 5])
segmentTreeSum.updateRange(0, 4, 3)
print(segmentTreeSum.nodes)
print(segmentTreeSum.lazy)
print(segmentTreeSum.getSum(1, 2))>>>[0, 30, 6, 9, 3, 3, 4, 5, 1, 2]
[0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
5

答案很明显是错的，而且错误原因也很明显。上面说lazy算法，当我们要访问他的子节点时，我们才去更新他的值。所以当我们求和时我们首先需要去更新它的值

添加pushTree()方法来更新子节点

class SegmentTreeSum:...def pushTree(self, index, val):if index * 2 < len(self.nodes):self.nodes[index * 2] += valself.nodes[index * 2 + 1] += valself.pushTree(index * 2, val)self.pushTree(index * 2 + 1, val)

更新求和函数

 def findSum(self, index, start, end, left, right):if self.lazy[index] != 0:self.pushTree(index, self.lazy[index])if end < left or start > right:return 0elif left == right:return self.nodes[index]else:if start == left and end == right:return self.nodes[index]mid = (left + right) // 2leftNode = self.findSum(index * 2, start, end, left, mid)rightNode = self.findSum(index * 2 + 1, start, end, mid + 1, right)return leftNode + rightNode

完整代码

class SegmentTreeSum:def __init__(self, arr):self.arr = arrself.nodes = [0] * len(arr) * 2self.lazy = [0] * len(arr) * 2self.construct(1, 0, len(arr) - 1)# 建树def construct(self, index, left, right):# left = right，确定节点if left == right:self.nodes[index] = self.arr[left]else:mid = (left + right) // 2  # 取整# 递归先确定子节点，再把子节点值相加获取该节点的值self.construct(index * 2, left, mid)  # 左节点self.construct(index * 2 + 1, mid + 1, right)  # 右节点self.nodes[index] = self.nodes[index * 2] + self.nodes[index * 2 + 1]  # 相加# 更新节点def pushTree(self, index, val):if index * 2 < len(self.nodes):self.nodes[index * 2] += valself.nodes[index * 2 + 1] += valself.pushTree(index * 2, val)self.pushTree(index * 2 + 1, val)# 获取区间和def getSum(self, start, end):return self.findSum(1, start, end, 0, len(self.arr) - 1)def findSum(self, index, start, end, left, right):if self.lazy[index] != 0:self.pushTree(index, self.lazy[index])if end < left or start > right:return 0elif left == right:return self.nodes[index]else:if start == left and end == right:return self.nodes[index]mid = (left + right) // 2leftNode = self.findSum(index * 2, start, end, left, mid)rightNode = self.findSum(index * 2 + 1, start, end, mid + 1, right)return leftNode + rightNode# 单点更新def update(self, i, val):self.change(1, i, val, 0, len(self.arr) - 1)def change(self, index, i, val, left, right):if left == i and right == i:self.nodes[index] = valelif i < left or right < i:returnelse:mid = (left + right) // 2self.change(index * 2, i, val, left, mid)self.change(index * 2, i, val, mid + 1, right)self.nodes[index] = self.nodes[index * 2] + self.nodes[index * 2 + 1]# 区间更新def updateRange(self, start, end, val):self.changeRange(1, start, end, 0, len(self.arr) - 1, val)def changeRange(self, index, start, end, left, right, val):if end < left or start > right:returnelif start == left and end == right:self.nodes[index] += (end - start + 1) * valself.lazy[index] += valelse:if left == right:self.nodes[index] += valself.lazy[index] += valreturnmid = (left + right) // 2self.changeRange(index * 2, start, end, left, mid, val)self.changeRange(index * 2 + 1, start, end, mid + 1, right, val)self.nodes[index] = self.nodes[index * 2] + self.nodes[index * 2 + 1]

参考网站:

Segment Tree - Algorithms for Competitive Programminghttps://cp-algorithms.com/data_structures/segment_tree.html力扣https://leetcode.cn/problems/my-calendar-iii/solution/xian-duan-shu-by-xiaohu9527-rfzj/前缀和 - 知乎前缀和(Partial_sum)简介(Introduction) 前缀和是一种常用的、较为高效的预处理方式。能够有效降低查询的时间复杂度。前缀和可以理解为数组前n项的和。一维前缀和示例(Example) 数列：\begin{matrix} 1&2&…https://zhuanlan.zhihu.com/p/350910138线段树(lazy用法)_起烟的博客-CSDN博客_线段树lazy在上一篇中，我们讨论了线段树的基础用法，其中我们对于线段树的修改，仅仅限制于对于线段树的点的修改，而不是对于某一个一段区间的修改。那么我们现在来想想如果对于线段树的一段区间来进行修改的话，如果我们还是来对线段树的每一个点都进行修改的话，那么，假设我们需要修改m个点，其时间复杂度岂不是为O(log(n))了，那么我们所需要的少的时间复杂度的要求就没有达成，为此，lazy数组应运而生，来解决这个问题。首先我们来认识一下lazy：如果当前区间被需要修改的目标区间完全覆盖，打一个标记。如果下一次的查询或者更改包https://blog.csdn.net/malloch/article/details/107999709

以上为我的笔记，接受友好地建议和指正～

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