windy数（数位dp）

1. 问题描述：

windy 定义了一种 windy 数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为 2 的正整数被称为 windy 数。 windy 想知道，在 A 和 B 之间，包括 A 和 B，总共有多少个 windy 数？

输入格式

包含两个整数，A B。

输出格式

一个整数

输入输出样例

输入

1 10

输出

输入

25 50

输出

数据范围

100%的数据，满足 1 <= A <= B <= 2000000000

来源：https://www.acwing.com/activity/content/11/

2. 思路分析：

① 这道题目是一道经典的数位 dp 知识点的入门题目，与之前 acwing 中数字游戏的题目是类似的，只是题目中数字的位的限制条件不一样而已，但是整体的思路都是一样的。首先需要声明一个二维列表 f 用来已处理，其中 f[i][j] 的含义为当前有 i 位并且最高位为 j 的数目，我们可以使用一个init 方法递推得到 f 列表的值，使用 init 方法预处理的目的是为了能够直接计算出树中左边方案数目（将数字 x 的所有位看成是一棵树，分为左分支与右分支，左边分支考虑当前这一位填入 0~x-1，右边的分支填入 x 对于每一位都是这样处理，所以可以将其看成是一棵树），init 方法中得到列表 f 的值其实也是一个动态规划递推的过程，由小的位数递推到大的位数。然后使用一个 dp 方法计算出 [0，x] 区间中符合条件的数目，那么区间 [x，y] 中符合题目要求的数目为 f(y) - f(x - 1)。dp 方法中首先是将数组 x 的各位存储到一个列表 nums 中，从高位到低位开始遍历 nums 列表中的每一位，因为 windy 数是不包含前导 0 的（包含前导 0 会对后面的低位的数字造成影响），所以对于最高位我们是不可以填入 0 的，所以在遍历当前 nums 中的位的时候判断当前位是否是最高位，如果是最高位那么当前位置尝试的范围为 1~nums[i] - 1，否则为 0~nums[i] - 1，在循环中可以使用 i == len(nums) - 1 判断即可，如果成立那么从 1 开始否则从 0 开始，对于当前这一位尝试 0~nums[i - 1] 的数字，因为之前预处理过所以可以直接将 f 列表对应位置的值累加到结果中，并且声明一个 last 变量来记录前缀信息，对于这道题目 last=nums[i]。最后判断是否可以到达最右边的那个分支，如果可以那么 res++，其实举实际的例子会更容易理解一点。

② 因为 ① 中考虑的是不存在前导 0 的情况，最高位是从 1 开始的，实际上 windy 数有前导0的情况下是会影响最终的结果的，例如两位的 windy 数，如果存在前导 0 那么只有 02，03，04...09才是满足的，忽略掉了 01 这个数字，三位的 windy 数也会筛选掉一些结果，比如第二位只能是 2 之后的数字，所以把像 013...这样的 windy 数也筛选掉了，所以我们需要额外的情况。我们其实是就可以将最高位看成是0但是这个 0 被隐藏掉了所以总共的位数是少一位的，所以我们需要额外计算出总共有 1~len(nums) - 1位的数字，并且最高位为 1~9 的 windy 数，这样就可以忽略掉前导 0 的影响，这也是在遍历 nums 列表中的时候当前位为最高位的时候不能够直接考虑填 0 的原因，所以我们在最后可以枚举一下从 1~len(nums) - 1 范围的 f[i][j] 将其累加到结果中即可。在数位 dp 解决的过程中计算 [0，x] 中的数目都会计算前导 0 的情况，也即 01，02....001，002.....，这些前导 0 一般是没有什么影响的，但是对于这道题目来说是有影响的。

N = 11
f = [[0] * 10 for i in range(N)]# 初始化f列表, f[i][j]表示当前有i位数字且最高位为j的数目
def init():for i in range(10):f[1][i] = 1for i in range(2, N):for j in range(10):for k in range(10):if abs(j - k) >= 2:f[i][j] += f[i - 1][k]def dp(n: int):if n == 0: return 0nums = list()while n:nums.append(n % 10)n //= 10res = 0# 只要是比1~9的数字的绝对值大于等于2即可last = -2for i in range(len(nums) - 1, -1, -1):x = nums[i]# 如果当前是最高位那么应该从1开始否则从0开始for j in range(i == len(nums) - 1, x):if abs(j - last) >= 2:res += f[i + 1][j]if abs(x - last) >= 2:last = xelse:break# 最右边的那个分支if i == 0: res += 1# 可以看成是前导0隐藏掉的情况例如02 04 06...这些数字可以隐藏掉前导0那么也属于正确答案for i in range(1, len(nums)):for j in range(1, 10):res += f[i][j]return resif __name__ == '__main__':init()A, B = map(int, input().split())print(dp(B) - dp(A - 1))

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